Свойства сходящихся рядов

Свойство 1

Если ряды

\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n (1) и \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n (2)

сходятся, и их суммы равны соответственно S, \sigma , то \forall \alpha ,\beta \epsilon \mathbb{R} ряд

\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n) (3)

сходится, при этом его сумма \tau=\alpha S+\beta\sigma.

Доказательство.

Пусть S_n, \sigma_n, \tau _n n-е частичные суммы соответственно рядов (1), (2), (3). Тогда  \tau _n=\alpha S_n +\beta \sigma_n. Поскольку \left \{ S_n \right \} и \left \{ \sigma _n \right \} сходятся, то последовательность \left \{ \tau _n \right \} имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо \tau=\alpha S+\beta\sigma.

Замечание:

Если ряды (1) и (2) расходятся, то о сходимости ряда (3) ничего утверждать нельзя. Ряд может быть сходящимся, а может быть расходящимся.

Например:

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}n и \sum\limits_{n=1}^{\infty}n — расходятся, и
    \sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+n) расходится.
  2. \sum\limits_{n=1}^{\infty}n и \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-n) — расходятся, но
    \sum\limits_{n=1}^{\infty}(n-n)=0 сходится.

Свойство 2

Если сходится ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n (1), то \forall t\epsilon \mathbb{N} сходится ряд \sum_{n=t+1}^{\infty}a_n. (2)

Данный ряд называют t-м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) сходится.

Доказательство.

Пусть \sum_{i=1}^{n}a_i=S_nn-я частичная сумма ряда (1) и \sum_{j=1}^{t+k}a_j=\sigma_k^{(t)}k-я частичная сумма ряда (2). Тогда
S_n=S_t+\sigma _k^{(t)}, где n=t+k. (*)

Если ряд (1) сходится, то \exists \lim_{n \to \infty}S_n, причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t существует конечный предел последовательности \left \{ \sigma _k^{(t)} \right \} при k\rightarrow \infty, то есть ряд (2) сходится.

Обратное утверждение: если \exists \lim_{k \to \infty}\sigma_k^{(t)} и он конечен при фиксированном t, то существует конечный \lim_{n \to \infty}S_n.

Замечание:

Свойство утверждает, что сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число членов ряда.

Свойство 3

Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n (1) сходится, то ряд \sum_{j=1}^{\infty}b_j (2), полученный путем группировки членов ряда (1) без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).

Доказательство.

Пусть b_1=a_1+...+a_{k_{1}}
b_{2}=a_{k_{1}+1}+...+a_{k_{2}}

….

b_j=a_{k_{j-1}}+...+a_{k_{j}},

где j\epsilon \mathbb{N}, \left \{ k_j \right \} — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пусть \sum_{k=1}^{n}a_k=S_n, \sum_{j=1}^{m}b_j=\sigma _m, тогда \sigma _m=S_{k_{m}}. Так как \left \{ \sigma _m \right \}подпоследовательность сходящейся последовательности \left \{ S_n \right \}, то \exists \lim_{m \to \infty}\sigma _m=S, где S-сумма ряда (1).

Литература

Свойства сходящихся рядов

Тест на проверку знаний свойств сходящихся рядов.

Свойства сходящихся рядов: 1 комментарий

  1. — Ни одной ссылки на другие страницы сайта или сайты в сети. Это такой оторванный от всего материал, что даже с Вашей второй публикацией не связан?
    — Точка в названии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *