Пример:

Рассмотрим функцию [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex]. Эта функция непрерывна на промежутке [latex][0,1)[/latex], но не ограничена на этом промежутке. При [latex]\forall\xi\in [0,1)[/latex] функция [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex] интегрируема на отрезке [latex][0,\xi][/latex], причем [latex]J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi})[/latex], откуда следует, что существует конечный [latex]\lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2[/latex]. В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x}}[/latex] на промежутке [latex][0,1)[/latex] равен [latex]2[/latex], т.е. [latex]\int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2[/latex]. Число [latex]2[/latex] можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.