Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F при x\in[a;+\infty);
  • функция g непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [a;+\infty);
  • \lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.

Тогда интеграл I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

Доказательство показать

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [a,+\infty):

  • функция f непрерывна и интеграл \int_{a}^{+\infty}f(x)dx сходится;
  • функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится.

Доказательство показать

Примеры

Рассмотрим интеграл \int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx. Исследуем его на сходимость.

Решение показать

Теперь рассмотрим интеграл \int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}. Проверим его на сходимость.

Решение показать

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов: 1 комментарий

  1. — Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования нужно ставить над и под знаком интеграла. И в тексте и в тестах.
    — Рисунков не обнаружил, а они обязательны.
    — Точка в названии
    — Вы видите, что в тестах с открытым ответом формулы не отображаются? Не используйте открытый ответ для вопросов, где формулы обязательны.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *