Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Покажем, что функция $fg$ удовлетворяет условию Коши на промежутке $[a,+\infty)$. Проинтегрируем эту функцию по частям:

где $\xi’,\xi»>a$.
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

Обратим внимание на то, что при $g'(x)\leq0$ выполняется $|g'(x)|=-g'(x)$, и при $g'(x)\geq0$ выполняется $|g'(x)|=g'(x)$. Рассмотрим эти два случая:

• $I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);$
• $I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).$

Получается, что

Тогда:

Поскольку $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0$, то

Для $\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)$ из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

Получили, что функция $fg$ удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов $I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится.

Заметим, что интегралы $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ и $\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx$ имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции $g$, одна из функций $g$ или $-g$ убывает.
Предположим, что убывает функция $g$. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c$. Так как функция $g$ убывает, то при $x$ стремящемся к $+\infty$ разность $g(x)-c$ тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций $f$ и $g$ в следующем виде:

В силу сходимости интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$, интеграл $\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx$ сходится. Из этого же условия следует, что интеграл $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ ограничен. Действительно, из существования конечного предела $\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ следует ограниченность функции $F$ в окрестности $U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}$ бесконечно удалённой точки $+\infty$. Из непрерывности функции $F$ на сегменте $[a,b]$ следует её ограниченность. Получили, что $F$ ограничена на полуинтервале $[a,+\infty)$. Поскольку первообразная функции $f$ это $F$, то $f$ имеет ограниченную первообразную на $[a,+\infty)$.
Для интеграла $\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx$ выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости $\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx$, интеграл $\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx$ сходится, что и требовалось доказать.

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов $\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}$ и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

$f(x)=x\sin(x^2)$, $g(x)=\frac{1}{x}$. Пусть

и применим подстановку $z=t^2$. Тогда

Функция $g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0$, а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

Пусть $f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}$, $g(x)=arctg(x)$. Интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы $\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2$, а $\frac{1}{x^p}$ монотонно стремится к $0$. Функция $g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0$. По признаку Абеля интеграл сходится.