Теорема о неявной функции одной переменной

Формулировка

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$ и:

  1. Функция $F\left(x, y \right)$ имеет в окрестности точки $\left( x_{0}, y_{0}\right)$ непрерывные частные производные $F_{x}\left(x, y \right)$ и $F_{y}\left(x, y \right)$;
  2. $F\left(x_{0}, y_{0} \right)=0$;
  3. $F_{y}\left(x_{0}, y_{0} \right)\neq 0$.

Тогда существует прямоугольник $K=\left\{\left(x, y \right): x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a, y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b \right\}$, $K\in R^{2}$, такой, что $\forall\left(x, y \right)\in K$ уравнение $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.
При этом функция $y=f\left(x \right)$ непрерывно дифференцируема на $\left(x_{0}-a; x_{0}+a \right)$ и $f’\left(x \right)=-\frac{F_{x}\left(x, f\left(x \right) \right)}{F_{y}\left(x, f\left(x \right) \right)}$.

Доказательство

Существование показать
Дифференцируемость показать

Примеры

Пример 1 показать
Пример 2 показать

Теорема о неявной функции одной переменной

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции одной переменной

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о неявной функции одной переменной: 2 комментария

  1. — нет меток
    — пропущено слово в вопросе «чтобы теорема справедлива»
    — мне кажется, что вопрос «в порядке убывания степени x в производной» не очень удачный — ответ можно дать без решения

    1. Исправила первые два и добавила новые вопросы. А в тесте с порядком убывания степени была ошибка, я её исправила, и оказалось, что в двух функциях степени сохраняются, а в третьей — нет, значит, угадать уже нельзя, нужно дифференцировать.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *