Доказательство

Пусть $\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K$. Из определения предела запишем: $\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon$. Если $K<1$, то положим $\varepsilon =\frac{1-K}{2}$, тогда $q=K+\varepsilon<1$ и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же $K>1$, то положим $\varepsilon =\frac{K-1}{2}$, тогда $q=K-\varepsilon>1$, а значит ряд расходится. Для случая $K=1$ приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ расходится и при этом $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1$. В то же время ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ сходится и при этом $\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1$.