Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств
Формулировка
Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:
Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.
Доказательство
Пусть [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}[/latex]. Так как [latex]0<q<1[/latex], то ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}[/latex] будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] так же является сходящимся.
Если [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.
Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.
Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)
Формулировка
Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:
Если существует предел:
Тогда:
- Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
- Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
- Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.
Доказательство
Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex] и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.
Если же [latex]K>1[/latex], то [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится.
Пример
Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.
Воспользуемся признаком Коши в предельной форме.
[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1[/latex].
Значит исходный ряд сходится.
Литература
- Конспект лекций по мат.анализу Лысенко З.М.
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.2. 1964г. стр.270-271
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. стр.12-14.
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 1, 1988-1989г. стр.22.
Тест
Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал