Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Часть первая: Почленное интегрирование степенного ряда

Замечание

Радиусом сходимости степенного ряда \sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n} называется такое число R при котором ряд сходится при |x|<R и расходится при |x|>R.
сх

Теорема

Степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}{a}_{n}{x}^{n}={a}_{0}+{a}_{1}{x}+{a}_{2}{x}^{2}+...+{a}_{n}{x}^{n}+... (в дальнейшем ряд 1), на промежутке [0, x], где \left|x\right|<R, всегда можно интегрировать почленно, так что $$\int_{0}^{x}f(x)dx={a}_{0}x+\frac{{a}_{1}}{2}{x}^{2}+\frac{{a}_{2}}{3}{x}^{3}+\ldots+\frac{{a}_{n-1}}{n}{x}^{n}+\ldots$$

Доказательство

... показать

Пример

... показать

Почленное интегрирование степенного ряда

Часть вторая: Почленное дифференцирование степенного ряда

Теорема

Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что для суммы ряда f(x) существует производная которая выражается:$$f^\prime(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_nx^{(n-1)}}=a_1+2a_2x+\ldots+na_nx^{(n-1)}+\ldots$$

Доказательство

... показать

Замечание

Мы доказали что ряд \int_{0}^{x}f(x)dx={a}_{0}x+\frac{{a}_{1}}{2}{x}^{2}+\frac{{a}_{2}}{3}{x}^{3}+...+\frac{{a}_{n-1}}{n}{x}^{n}+... и f^\prime(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_nx^{n-1}}=a_1+2a_2x+\ldots+na_nx^{(n-1)}+\ldots сходятся на промежутке (-R, R), следовательно их радиусы сходимости не меньше R. В свою очередь ряд (1) получается почленным дифференцированием ряда \int_{0}^{x}f(x)dx={a}_{0}x+\frac{{a}_{1}}{2}{x}^{2}+\frac{{a}_{2}}{3}{x}^{3}+...+\frac{{a}_{n-1}}{n}{x}^{n}+... и почленным интегрированием ряда f^\prime(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{na_nx^{n-1}}=a_1+2a_2x+\ldots+na_nx^{(n-1)}+\ldots следовательно R не может быть меньше упомянутых радиусов сходимости. Из вышеупомянутого следует, что радиусы сходимости всех трех рядов равны между собой.

Пример

... показать

Список литературы

Почленное дифференцирование степенного ряда

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *