М1579. Нахождение площади шестиугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №3)

Условие

Пусть  A',B',C',D',E',F' — середины сторон  AB, BC, CD, DE, EF, FA произвольного выпуклого шестиугольника  ABCDEF . Известны площади треугольников  ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB' . Найдите площадь шестиугольника  ABCDEF .
M1579(1)рис.1

Решение

Заметим, что $$S_{ABC’}=(S_{ABC} + S_{ABD}) / 2,$$ поскольку все эти три треугольника имеют общее основание  AB (рис.1) высота  \Delta ABC' равна полусумме высот  \Delta ABC и  \Delta ABD , опущенных на  AB . M1579(2)рис.2

Сложив шесть равенств аналогичных (1), получим, что известная нам сумма S\prime площадей треугольника  ABC', BCD', CDE', DEF', EFA', FAB' равна сумме { (S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 })/2, где S_{1}— сумма площадей шести треугольников  ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB , отрезаемых малыми диагоналями, а S_{2} — сумма площадей треугольников  ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB полученных «циклическим сдвигом» вершин из \triangle ABS.С другой стороны разрезав шестиугольник так, как показано на рисунке 2, и еще двумя аналогичными способами, получающимися из этого разрезанная «циклическим сдвигом» (в том же направлении A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow ...) для площади S шестиугольника получим равенство 3S=S_{1}+S_{2}. От сюда S=2S\prime /3.

Н.Васильев 

М1579. Нахождение площади шестиугольника: 4 комментария

      1. Молодец.
        А почему В решили, что из всех рубрик для этой задачи наиболее подходит «Математический анализ»?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *