Зависимость функций

Определение 1.

Пусть на множестве G\subset \mathbb{R}^n заданы непрерывно дифференцируемые функции $$y_{i}=\varphi _{i},\varphi(x),\quad i=1,2,…,m,\quad x=(x_{1},…,x_{n})\in G.$$ 

Функция \varphi _{m} называется зависимой на множестве G от функции \varphi _{1},...,\varphi _{m-1}, если существуют множество D в пространстве \mathbb{R}_{y_{1},...,y_{m-1}}^{m-1} и непрерывно дифференцируемая на множестве D функция \Phi (y_{1},...,y_{m-1}) такие, что в любой точке x\in G выполняются условия (\varphi _{1}(x),...,\varphi _{m-1}(x))\in D и \Phi (\varphi_{1}(x),...,\varphi _{m-1}(x))=\varphi _{m}(x).

Определение 2.

Функция системы называется зависимой на множестве G, если хоть одна функция системы y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,...,m, x=(x_{1},...,x_{n})\in G зависит от остальных, в противном случае она независима. 
Ответ на вопрос о зависимости системы функций основную роль играет  матрица Якоби этой системы. $$\frac{\partial (y_{1},…,y_{n})}{\partial (x_{1},…,x{n})},\quad i=1,2,…,m;\quad j=1,2,…,n,$$

Теорема (необходимое условие зависимости функций)

Пусть система функций y_{i}=\varphi _{i},i=1,2,...,m, x=(x_{1},...,x_{n})\in G  зависима на множестве G и m\leq n. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы Якоби меньше m.

Доказательство

По условию теоремы, функция зависима на множестве G, следовательно хоть одна функция системы зависит от остальных ( по определению 2). Пусть \varphi_{m} зависит от \varphi _{m},...,\varphi_{m-1}: $$\varphi _{m}(x)=\Phi (\varphi _{1}(x),…,\varphi _{m-1}(x)),\quad x\in G,$$ где \Phi-непрерывно дифференцируемая функция от (m-1) аргументов y_{1},...,y_{m-1}. Следовательно $$\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{j}}=\sum_{i=1}^{m-1}\frac{\partial \Phi }{\partial y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}\ для\ всех\ j=1,2,…,n. $$ Покажем, что m-я строка матрицы Якоби является линейной комбинацией, это будет означать, что ранг матрицы меньше m в каждой точке x\in G.

Следствие 1

Пусть функция системы зависима на множестве G и m=n , тогда якобиан этой системы функции тождественно равен нулю во всех точках множества G.

Следствие 2

Пусть m\leq n и пусть ранг матрицы Якоби хоть в одной точке множества G равен m, тогда система функций независима на множестве G.

Тесты

Зависимость функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал.

Таблица лучших: Зависимость функции

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *