Processing math: 100%

Градиент функции и его геометрический смысл

Прежде чем приступать к прочтению данной статьи, я советую ознакомится с темой Производная по направлению

Определение

Градиент можно обозначать через gradφ, но мы будем обозначать через φ .
φ=(φx,φy,φz)

Предположим, что i, j и k— координатные орты , то  φ=iφx+jφy+kφz

Предположим, что вектор l=(cosα,cosβ,cosγ) и является единичным вектором. Теперь мы можем записать формулу для производной функции по направлению вектора l с помощью градиента : φl=cosαφx+cosβφy+cosγφx=(l,φ)
и как мы говорили ранее, что в l-единственный вектор, следовательно мы имеемφl=|φ|cosδ
(δ — угол образованный вектором l и φ не трудно увидеть из этой формулы, что если в данной точке |φ|2=(φx)2+(φy)2+(φz)20.

(2)

 В трех мерном пространстве градиент имеет хорошую геометрическую интерпретацию, градиент это вектор в котором производная достигает максимума ,только тогда, когда cosφ=1. Теперь понятно, что градиент не зависит от выбора системы координат и определяется самой функцией. Мы можем смело сказать , что если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю в каждой подобной системе координат. А если градиент не равен нулю то его независимость от выбора декартовой системы координат следует из его геометрического смысла .

Использованная литература:

Тесты

Градиент функции и его геометрический смысл

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Градиент функции и его геометрический смысл

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Градиент функции и его геометрический смысл: 1 комментарий

  1. Тема не раскрыта.
    Градиент выглядит так \mathrm{grad}\,\varphi — gradφ или так \nabla \varphi — φ.
    Синус и косинус — как \sin и \cos соответственно.
    Второй тест — бессмыслица. Что означает cos=0?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *