Производная по направлению

Определение:

Пусть $f(x, y, z)$ – действительная функция на открытом множестве $G \subset R^{n}$, $M(x, y, z)$ — внутренняя точка области G и $\vec{u}=\left\{cos\alpha , cos\beta , cos\gamma \right\}$ – единичный фиксированный вектор из $R^{n}$. Найдется такое число $t$, что: $x=x_{0}+tcos\alpha, y=y_{0}+tcos\beta, z=z_{0}+tcos\gamma$. Если существует конечный предел

$\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+tcos\alpha, y_{0}+tcos\beta, z_{0}+tcos\gamma )-f(x_{0}, y_{0}, z_{0})}{t}$,

то его называют производной функции $f(x, y, z)$ по направлению вектора $\vec{u}$ и обозначают $\frac{\delta f}{\delta u}(x_{0})$.

Это скорость изменения функции в направлении $\vec{u}$.

При $\alpha=0$ получаем частную производную по $x$ и т.д.