Условие

Натуральные числа $x$ и $y$ таковы, что сумма дробей $\frac { { x }^{ 2 }-1 }{ y\quad+\quad 1 } +\frac { { y }^{ 2 }-1 }{ x\quad+\quad 1 }$ — целое число. Докажите, что каждая из дробей — целое число.

Решение:

Пусть $u$ — первая, $v$ — вторая из этих дробей. Их сумма и произведение — целые числа, поэтому $u$ и $v$ корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами, скажем, ${ z }^{ 2 } + m \cdot z + n = 0$. Так как $u$ и $v$ — рациональные корни, то дискриминант ${ m }^{ 2 }-4\cdot n$ этого уравнения — рациональное число и, более того, целое, причем той же четности, что и $m$.
Формулы Виета
Но тогда $u$ и $v$ — тоже целые, ведь $u$, $v$ = $\frac { -m+-\sqrt { { m }^{ 2 }-4\cdot n } }{ 2 }$, а в числителе под корнем стоит четное число. Существует также много решений этой задачи, связанных с рассмотрением общих делителей чисел $x + 1$ и $y + 1$.

А.Перлин