Ряды Фурье по тригонометрической системе

Пусть функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ в несобственном смысле. Найдем выражение для частичной суммы ее ряда Фурье по тригонометрической системе

$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k } } \cos { kx } +{ b }_{ k }\sin { kx= } $$
$$=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int\limits_{ -\pi  }^{ \pi  }{ f(t)dt+\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \pi  }  }  }\int\limits_{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)[\cos { kt\cos { kx } +\sin { kt\sin { kx } } } }]dt=$$ $$=\frac { 1 }{ \pi } \int\limits _{ -\pi }^{ \pi }{ f(t)\left[ \frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { k(t-x) } } \right] dt }$$

Обозначим
$${ D }_{ n }(t)=\frac { 1 }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ \cos { kt }  }. $$
Функция ${ D }_{ n }(t)$ называется ядром Дирихле. Тогда получим
$${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t-x)f(t)dt.$$
Интеграл в правой части называется интегралом Дирихле.

Свойства ядра Дирихле

  1. $\quad { D }_{ n }(0)=n+\frac { 1 }{ 2 } \quad (n=0,1,…).$

  2. $\quad  \frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1\quad (n=0,1,…).$

  3. Доказательство свойств 1 и 2 вытекает из определения ядра Дирихле.

  4. $\quad { D }_{ n }(t)=\frac { \sin { (n+\frac { 1 }{ 2 }  } )t }{ 2\sin { \frac { t }{ 2 }  }  } \quad (n=0,1,…,\quad t\neq 2\pi k,\quad k\in N).$
  5. Доказательство показать
  6. $\quad \int\limits _{ -\pi  }^{ 0 }{ { D }_{ n } } (t)dt=\int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=\frac { \pi  }{ 2 },$ или $\frac { 2 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \pi  }{ { D }_{ n } } (t)dt=1$

    1. Следствие

      Пусть $0<\delta <\pi ,\quad  x\in [-\pi,\pi ]$, $\quad 2\pi$-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi ].$ Тогда
      $${ S }_{ n }(x,f)=\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f(x+t)+f(x-t)]dt+\overline { o } (1)\quad (n\rightarrow \infty ).$$

      Доказательство показать

      Теорема(принцип локализации)

      Пусть $2\pi $-периодическая функция $f$ абсолютно интегрируема на отрезке $[-\pi ,\pi ]$. Тогда сходимость ряда Фурье функции $f$ в точке ${ x }_{ 0 } \in R$ зависит от существования при $n\rightarrow \infty$ предела интеграла
      $$\frac { 1 }{ \pi  } \int\limits _{ 0 }^{ \delta  }{ { D }_{ n } } (t)[f({ x }_{ 0 }+t)+f({ x }_{ 0 }-t)]dt,$$
      где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число. Иначе говоря, сходимость ряда Фурье в точке ${ x }_{ 0 }$ определиться лишь поведением функции $f$ в любой сколь угодно малой окрестности точки ${ x }_{ 0 }.$

      Разложение в ряд Фурье линейной функции ($f\left( x \right) =kx+b$)

      Литература

      Тест

      Проверьте свои знания


      Таблица лучших: Ряды Фурье по тригонометрической системе

      максимум из 18 баллов
      Место Имя Записано Баллы Результат
      Таблица загружается
      Нет данных

Ряды Фурье по тригонометрической системе: 1 комментарий

  1. — Пробелы!
    — В работе должны быть все типы вопросов. У Вас их всего 4. Это снижает оценку.
    — Заголовок над рисунком, сам рисунок и формула под ним — что это? Пожалуйста, поясните.
    — На рисунке нет подписей у делений. Обычно так поступают при шаге 1. Но тогда Ваш косинус превышает по модулю единицу. Мы говорили, что нужно подписать деления на осях. Сейчас они как-то сами по себе и не зависят от функции.
    — Так ось ординат обозначать нельзя.
    — Вот странно, везде правильно кодируете принадлежность к множеству \in и вдруг — \epsilon.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *