Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Примеры

1. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
   Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

   $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx-x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[\sin t(-\sin t)-\cos t\cdot \cos t\right]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=$$ $$=-\left( \frac{\pi}{2}-0 \right)=-\frac{\pi}{2}.$$

2. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(ydx-xdy)$, где $\Gamma$ — отрезок, который начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
   Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=1-t, y=t$ $(0\leq t\leq1)$. Отсюда,

   $$\int\limits_{\Gamma}^{}\left(y\,dx-x\,dy\right)=$$ $$=\int\limits_{0}^{1}[t(-1)-(1-t)\cdot 1]\,dt=$$ $$=-\int\limits_{0}^{1}\,dt=-t \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-(1-0)=-1.$$

3. Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)$, где $\Gamma$ — дуга окружности $x^2+y^2=1$, которая начинается в точке $(1,0)$ и заканчивается в точке $(0,1)$.
   Параметрическое представление кривой $\Gamma$ имеет вид $\Gamma: x=\cos t, y=\sin t$ $(0\leq t\leq\frac{\pi}{2})$. Отсюда,

   $$\int\limits_{\Gamma}^{}(y\,dx+x\,dy)=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sin t(-\sin t)+\cos t\cdot \cos t]\,dt=$$ $$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}[{cos}^{2}t-{sin}^{2}t]\,dt =\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos 2t\,dt=$$ $$=\frac{\sin 2t}{2} \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}=0.$$