Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$. Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$, $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq$$ $$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$. Докажем равномерную сходимость на $Y$. Рассмотрим неравенство  $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$, при этом $\eta^{\prime\prime} < b$. В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее:  $$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$. $\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$$

Список литературы

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 623-624
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 103-105
• Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, стр. 674
• Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, стр. 386 — 389

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Определить области сходимости интегралов

   Элементы сортировки

   • $Max(p, q) > 1$
   • $\left| \frac{p - 1}{q} \right| < 1$
   • $p < 1$
   • $p > \frac{1}{2}$

   • $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\cos x}{x^{p} + x^{q}}dx$

   • $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x^{q}}}{x^{p}}dx$

   • $\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{|\ln x|^p}dx$

   • $\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x^{p} + \sin x}dx$ $(p>0)$
2. Задание 2 из 4

   2.

   Для равномерной сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно выполнение…
3. Задание 3 из 4

   3.

   Выберете интегралы, которые сходятся неравномерно в указанных промежутках

   • $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx$ $(0 < \alpha_{0} \leq \alpha < +\infty)$
   • $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x-\alpha)^2 + 1}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
   • $\int\limits_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx$ $(a \leq \alpha \leq b)$
   • $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
   • $\int\limits_{0}^{+\infty}\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
4. Задание 4 из 4

   4.

   Сформулируйте условие Коши.

   • $\forall \varepsilon > 0$
   • $\exists \eta < b$
   • $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$
   • выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| < \varepsilon$