Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ , являющийся функцией от $y$ . Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$ . Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$ . Интеграл вида $\int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$ , при выполнении следующих условий:

$- \infty < a < b \leq + \infty$
функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$ , где $Y$ является множеством параметров.
$\forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$ .
$\forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$ , при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$ , такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$

Равномерная сходимость

Если несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на множестве $Y$ и если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $a \leq \eta < b$ , что для любого $y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого $\eta \leq \eta^\prime < b$ справедливо следующее неравенство

$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon,$

то такой интеграл называют равномерно сходящимся по параметру $y$ на данном множестве.

Примеры

Пример 1

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x}\cos xy\,dx$

Решение

Для любого $\varepsilon \, > \, 0$ существует $\eta = \ln \frac{2}{\varepsilon}$ такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon \, [\eta, +\infty)$ и любого $y \, \epsilon \, R$ выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{+\infty}e^{-x}\cos xy\,dx \right|\leq \int\limits_{\eta^\prime}^{+\infty}e^{-x}\,dx = e^{-\eta^\prime} \leq e^{-\eta} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon .$ Следовательно, интеграл исходный интеграл сходится равномерно по параметру $y$ на интервале $(-\infty, +\infty)$ . $\Box$

[свернуть]

Пример 2

Проверить интеграл на неравномерную сходимость.

$\int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx$

Решение

Возьмем $\varepsilon = e^{-1}$ . Тогда для любого $\eta \, \epsilon \, (0, +\infty)$ существует $\eta^\prime = \eta$ и $y = \frac{1}{\eta}$ такие, что $\int\limits_{\eta^\prime}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx = \int\limits_{\eta}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx =$ $=\int\limits_{\eta y}^{+ \infty} e^{-t}\,dt = \int\limits_{1}^{+ \infty} e^{-t}\,dt = e^{-1} = \varepsilon,$ и поэтому исходный интеграл сходится неравномерно по параметру $y$ на множестве $Y = [0, +\infty)$ .

[свернуть]

Список литературы

Тест

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Задание 1 из 2

1.
Определение равномерной сходимости. Заполните пропуски.
- Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на множестве $Y$ . Говорят, что такой интеграл сходится по параметру $y$ на множестве $Y$ , если для любого $ε >$ существует $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ такое, что для любого $\xi \, \epsilon \, [\eta,b)$ и для любого $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнено неравенство $\int\limits_\xi^b f(x,y) \, dx < \varepsilon$
Задание 2 из 2

2.
Выберите пункт, который не является одним из условий сходимости несобственного интеграла на множестве $Y$
- $- \infty < a < b \leq + \infty$
- Функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$ , где $Y$ является множеством параметров
- $\forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ дифференцируема на отрезке $[a, \eta ]$
- $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится

Таблица лучших: Несобственные интегралы, зависящие от параметра

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Оглавление

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Равномерная сходимость

Примеры

Пример 1

Пример 2

Список литературы

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Добавить комментарий Отменить ответ

Средний результат
Ваш результат