Равномерная сходимость и непрерывность

Теорема (О связи равномерной сходимости функциональной последовательности с непрерывностью)

Если последовательность ${f_{n}(x)}$ определена на отрезке $[a,b],$ равномерно сходится к функции $f(x)$ на этом отрезке, и все члены последовательности непрерывны в точке $x_{0} \in [a,b],$ то функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$ .

Доказательство

По определению равномерной сходимости: $\forall \varepsilon>0 \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}: \forall n \ge n_{\varepsilon} \forall x \in [a,b] \Rightarrow |f_{n}(x) — f(x)| < \varepsilon.$

Докажем от противного. Предположим, существует точка разрыва предельной функции $x_{0} \in [a,b].$ Сразу отметим, что функция $f(x)$ определена на всем отрезке $[a,b],$ а значит и в точке $x_{0}.$ Тогда из того, что $x_{0}$ — точка разрыва, следует, что предел функции $f(x)$ хотя бы с одной из сторон не равен значению функции в этой точке. При этом, из непрерывности функции $f_{n}(x)$ следует, что ее значение в точке $x_{0}$ равно ее пределу в этой точке.

Рассмотрим случай, когда $x_{0} \in [a,b)$ и $\lim\limits_{x \to x_{0}+0} f(x) \ne f(x).$ Случай, когда $x_{0} \in (a,b]$ и $\lim\limits_{x \to x_{0}-0} f(x) \ne f(x),$ доказывается аналогично.

$\begin{cases} \left| \lim\limits_{x \to x_{0}+0} f_{n}(x) — \lim\limits_{x \to x_{0}+0}f(x) \right| < \varepsilon \\ \left|f_{n}(x_{0}) — f(x_{0}) \right| < \varepsilon \end{cases}$

Зафиксируем $\varepsilon = \frac{ \left| f(x_{0}) — \lim\limits_{x \to x_{0}+0} f(x) \right| }{3}.$ Тогда:
$\begin{cases} \left| \lim\limits_{x \to x_{0}+0} f_{n}(x) — \lim\limits_{x \to x_{0}+0} f(x) \right| < \frac{ \left|f(x_{0}) — \lim\limits_{x \to x_{0}+0} f(x) \right|}{3} \\ \left|f_{n}(x_{0}) — f(x_{0}) \right| < \frac{\left|f(x_{0}) — \lim\limits_{x \to x_{0}+0} f(x) \right|}{3}\end{cases},$
что невозможно при $f_{n}(x_{0}) = \lim\limits_{x \to x_{0}} f_{n}(x),$ т.е. при непрерывности функции $f_{n}(x)$ в точке $x_{0}.$ Мы пришли к противоречию. Предположение неверно. Теорема доказана.

Иллюстрация и замечание к теореме

Спойлер

На иллюстрации показана функция $f(x)$ (черным) и полоса, ширина которой $2 \cdot \varepsilon$ (серым). Всякая функция $f_{n}(x),$ начиная с некоторого номера $n_{ \varepsilon},$ принадлежит этой полосе. Всегда можно задать столь малое $\varepsilon$ , что разрыв функции $f(x)$ будет приводить к разрыву функции $f_{n}(x).$

[свернуть]

Теорема (О связи равномерной сходимости функционального ряда с непрерывностью)

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^ \infty u_{n}(x)$ определен на отрезке $[a,b],$ равномерно сходится к функции $S(x)$ на этом отрезке, и все члены ряда непрерывны в точке $x_{0} \in [a,b],$ то функция $S(x)$ непрерывна в точке $x_{0}.$

Доказательство

Всякая частичная сумма ряда $\sum\limits_{n=1}^ \infty u_{n}(x)$ непрерывна в точке $x_{0}$ , как сумма непрерывных. Тогда последовательность частичных сумм ряда, по предыдущей теореме, сходится к функции, непрерывной в точке $x_{0}.$ Теорема доказана.

Литература: