M1709. Окружность и прямоугольник

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 6 выпуск)

Условие

Окружность пересекает стороны прямоугольника в восьми точках, которые последовательно занумерованы. Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в точках с нечетными номерами равна площади четырехугольника с вершинами в точках с четными номерами (рис. 1).

Решение

Сначала запишем вспомогательное равенство для отрезков горизонтальных сторон прямоугольника $KLMN$, выступающих за пределы окружности (рис.2):

$$LA_{3}+NA_{7}=MA_{4}+KA_{8}$$

Это равенство следует хотя бы из того, что трапеция $A_{8}A_{3}A_{4}A_{7}$ — равнобочная. Аналогично получаем другое вспомогательное равенство для отрезков вертикальных сторон: $KA_{1}+MA_{5}=LA_{2}+NA_{6}.$ Третье вспомогательное равенство получим, если приравняем произведения левых и произведения правых частей первых двух. Обозначив через $a$ длину горизонтальной стороны прямоугольника $KLMN$, а через $b$ — длину его вертикальной стороны, запишем основное равенство:
$$\begin{multline} LA_{3}\left ( b-KA_{1} \right )+NA_{7}\left ( b-MA_{5} \right )+ \\ + KA_{1}\left ( a-NA_{7} \right )+MA_{5}\left ( a-LA_{3} \right )= \\ =MA_{4}\left ( b-NA_{6} \right )+KA_{8}\left ( b-LA_{2} \right )+ \\ + LA_{2}\left ( a-MA_{4} \right )+NA_{6}\left ( a-KA_{8} \right ). \end{multline}$$

Это равенство непосредственно следует из трех вспомогательных равенств. Оно означает, что сумма площадей четырех прямоугольных треугольников $LA_{1}A_{3}$, $NA_{5}A_{7}$, $KA_{7}A_{1}$ и $MA_{3}A_{5}$ равна сумме площадей треугольников $MA_{6}A_{4}$, $KA_{2}A_{8}$, $LA_{4}A_{2}$ и $NA_{8}A_{6}.$ Но в таком случае площади четырехугольников $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}$ и $A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$ равны.

В. Произволов