Задача из журнала «Квант» (1999 год, 6 выпуск) M1709

Условие

Рис. 1

Окружность пересекает стороны прямоугольника в восьми точках, которые последовательно занумерованы. Докажите, что площадь четырехугольника с вершинами в точках с нечетными номерами равна площади четырехугольника с вершинами в точках с четными номерами (рис. 1).

Решение

Сначала запишем вспомогательное равенство для отрезков горизонтальных сторон прямоугольника $KLMN$, выступающих за пределы окружности (рис.2):

Рис. 2

$$LA_{3}+NA_{7}=MA_{4}+KA_{8}$$
Это равенство следует хотя бы из того, что трапеция $A_{8}A_{3}A_{4}A_{7}$ — равнобочная. Аналогично получаем другое вспомогательное равенство для отрезков вертикальных сторон: $KA_{1}+MA_{5}=LA_{2}+NA_{6}.$ Третье вспомогательное равенство получим, если приравняем произведения левых и произведения правых частей первых двух. Обозначив через $a$ длину горизонтальной стороны прямоугольника $KLMN$, а через $b$ — длину его вертикальной стороны, запишем основное равенство:
$$LA_{3}\left ( b-KA_{1} \right )+NA_{7}\left ( b-MA_{5} \right )+KA_{1}\left ( a-NA_{7} \right )+MA_{5}\left ( a-LA_{3} \right )=\\\
=MA_{4}\left ( b-NA_{6} \right )+KA_{8}\left ( b-MA_{5} \right )+LA_{2}\left ( a-MA_{4} \right )+NA_{6}\left ( a-KA_{8} \right )$$
Это равенство непосредственно следует из трех вспомогательных равенств. Оно означает, что сумма площадей четырех прямоугольных треугольников $LA_{1}A_{3}$, $NA_{5}A_{7}$, $KA_{7}A_{1}$ и $MA_{3}A_{5}$ равна сумме площадей треугольников $MA_{6}A_{4}$, $KA_{2}A_{8}$, $LA_{4}A_{2}$ и $NA_{8}A_{6}.$ Но в таком случае площади четырехугольников $A_{1}A_{3}A_{5}A_{7}$ и $A_{2}A_{4}A_{6}A_{8}$ равны.

В. Произволов

Задача из журнала «Квант» (1999 год, 6 выпуск) M1709: 4 комментария

  1. Равенство LA[3]+NA[7] = MA[4]+KA[8], которое следует из равнобедренности вписанной в окружность трапеции, не мешало бы конечно ещё больше пояснить..

    1. В статье изложено авторское решение задачи, приведенное в журнале «Квант» (2000 год, 3 выпуск). Указанное Вами равенство достаточно легко доказать, если опустить на $LM$ из вершин $A_7$ и $A_8$ перпендикуляры $A_7H_1$ и $A_8H_2$ соответственно, а затем представить $LA_3$, как $LH_1+H_1A_3$, а $MA_4$ — как $MH_2+H_2A_4$ (в случае, если $A_7A_8 \geq A_3A_4$, в противном случае доказательство протекает аналогично, только перпендикуляры опускаются из $A_3$ и $A_4$ на $KN$).

      1. Понятно. Благодарю. Лучше такие детали не опускать, а в явном виде прописывать.

        1. Артем, возможно Вы не обратили внимание, но в статье воспроизводятся материалы В.Произволова из журнала почти 20-летней давности. Конечно, мы можем дополнительно пояснить что-то в своих комментариях к его работе, но рекомендации по тому как что-то объяснять следует адресовать не на сайт, а непосредственно в журнал Квант за 1999 год.
          Хотя, я и не представляю как Вам это сделать.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *