Определение. Функция $f$, определенная на интервале $\left(a, b\right)$, называется непрерывной на этом интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция $f$ называется непрерывной на отрезке $\left[a, b\right]$, если она непрерывна на $\left(a, b\right)$, а в точках $a$ и $b$ непрерывна справа и слева, соответственно.
В этом параграфе мы исследуем характер возможных разрывов у монотонной функции. Именно следующая теорема показывает, что у монотонной функции не может быть разрывов $II$ рода, а во внутренних точках
не может быть устранимых разрывов. Напротив, в концевых точках если и есть разрыв, то он устранимый.
Теорема $1$. Пусть функция $f$ монотонна на $\left[a, b\right]$. Тогда
- Если $x_0\in\left(a, b\right)$, то имеет место одна и только одна из следующих двух ситуаций:
- $f$ непрерывна в точке $x_0$;
- в точке $x_0$ функция $f$ имеет неустранимый разрыв $I$ рода.
- Если $x_0=a \left(x_0=b\right)$, то
- либо $f$ непрерывна справа (слева) в точке $x_0$;
- либо $f$ имеет в точке $x_0$ устранимый разрыв.
Рассмотрим случай, когда $f$ возрастает на $\left[a, b\right]$. Пусть $x_0\in\left(a, b\right)$. Тогда из неравенства $f\left(x\right)\leqslant f\left(x_0\right)\left(x<x_0\right)$ и монотонности $f$ следует, что существует $f\left(x_0-0\right)\leqslant f\left(x_0\right)$. Аналогично, из неравенства $f\left(x\right)\geqslant f\left(x_0\right)\left(x>x_0\right)$ и монотонности $f$ следует, что существует $f\left(x_0+0\right)\geqslant f\left(x_0\right)$. Итак,
$$f\left(x_0-0\right)\leqslant f\left(x_0\right)\leqslant f\left(x_0+0\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(4.4\right)$$
Если в $\left(4.4\right)$ два знака неравенства, то $f$ непрерывна в точке $x_0$. Если же хотя бы одно из неравенств строгое, то в точке $x_0$ функция $f$ имеет скачок. Из $\left(4.4\right)$ также следует, что в точке $x_0$ устранимый разрыв невозможен.
Пусть теперь $x_0=b$. Тогда $f\left(x\right)\leqslant f\left(b\right)$ и существует $f\left(b-0\right)\leqslant f\left(b\right)$. Если $f\left(b-0\right)=f\left(b\right)$, то $f$ непрерывна слева в точке $b$. Если же $f\left(b-0\right)<f\left(b\right)$, то в точке $b$ у функции $f$ устранимый разрыв (левосторонний). Случай $x_0=a$ рассматривается аналогично.
Теперь изучим вопрос о количестве точек разрыва монотонной функции, заданной на $\left[a, b\right]$. Может оказаться, что точек разрыва у функции $f$ нет $(например, f\left(x\right)=x)$. Легко построить пример монотонной функции, у которой любой наперед заданный конечный набор точек из $\left[a, b\right]$ будет точками разрыва, а все остальные точки будут точками непрерывности. Монотонная функция может иметь и бесконечно много точек разрыва. Например, у невозрастающей функции $$ \displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}1-\displaystyle\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}<x\leqslant \frac{1}{n}, n=1,2,…,\\ 1, x=0\end{matrix}\right.$$ каждая точка вида $\displaystyle\frac{1}{n}\left(n=1, 2,\ldots\right)$ является точкой разрыва. В этом примере множество точек разрыва счетное. Если же отказаться от условия монотонности, то можно привести пример функции, у которой множество точек разрыва несчетно (функция Дирихле). Естественно спросить, может ли монотонная функция иметь несчетное множество точек разрыва?
Определение. Множество называется не более чем счетным, если оно пусто, конечно или счетно.
Теорема $2$. Пусть функция $f$ монотонна на $\left(a, b\right)$. Тогда множество ее точек разрыва не более чем счетно.
Пусть функция $f$ не убывает на $\left(a, b\right)$. Согласно предыдущей теореме, если в некоторой точке $x_0\in\left(a, b\right)$ функция $f$ имеет разрыв, то это — скачок, т.е. $f\left(x_0-0\right)<f\left(x_0+0\right)$. Поэтому каждой точке разрыва $x$ можно поставить в соответствие интервал $I_x=\left(f\left(x_0-0\right), f\left(x_0+0\right)\right)$. Пусть $x’$ и $x^{\prime\prime}$ — две различные точки разрыва функции $f$. Покажем, что интервалы $I_{{x}^{\prime}}$ и $I_{{x}^{\prime\prime}}$ не пересекаются. Пусть $x'<x^{\prime\prime}$. Выберем точку $\xi$ такую что $x'<\xi<x^{\prime\prime}$. Тогда, в силу монотонности $f$, $f\left(x’+0\right)\leqslant f\left(\xi\right)$ и $f\left(x^{\prime\prime}-0\right)\geqslant f\left(\xi\right)$, т.е. $f\left(x’+0\right)\leqslant f\left(x^{\prime\prime}-0\right)$. Это означает, что интервалы $\left(f\left(x’-0\right), f\left(x’+0\right)\right)$ и $\left(f\left(x^{\prime\prime}-0\right), f\left(x^{\prime\prime}+0\right)\right)$ не имеют общих точек. Итак, каждой точке разрыва $x$ поставлен в соответствие интервал $I_x$. В каждом таком интервале $I_x$ выберем рациональное число $r_x$. При этом различным точкам разрыва $x’$ и $x^{\prime\prime}$ будут соответствовать различные числа $r_{{x}^{\prime}}$ и $r_{{x}^{\prime\prime}}$, т.к. интервалы $I_{{x}^{\prime}}$ и $I_{{x}^{\prime\prime}}$ не пересекаются.
Пусть $E\subset\left(a, b\right)$ — множество всех точек разрыва функции $f$. Если $E\neq\varnothing$, то каждому $x\in E$ поставлено в соответствие рациональное число $r_x$. Мы получили взаимно однозначное соответствие между элементами множества $E$ и некоторым подмножеством $E_1\subset \mathbb{Q}$ множества $\mathbb{Q}$. Но множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ счетно, поэтому и множество $E_1$ не более чем счетно, а значит не более чем счетно и само множество $E$.
Пусть функция $f$ монотонна на $\left[a, b\right]$. Тогда множество ее значений $E\left(f\right)$ содержится в отрезке $I$ с концами $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$, т.е. $E\left(f\right)\subset I$. Следующая теорема показывает, что в случае $E\left(f\right)=I$ функция $f$ непрерывна на $\left[a, b\right]$. Другими словами, если в области значений монотонной функции нет пустот (промежутков), то такая функция непрерывна.
Теорема $3$. Пусть функция $f$ монотонна на $\left[a, b\right]$ и область ее значений представляет собой отрезок с концами $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$. Тогда функция $f$ непрерывна на $\left[a, b\right]$.
Рассмотрим случай неубывающей $f$. Предположим, что $f$ разрывна в некоторой точке $x_0\in\left(a, b\right)$. Тогда, согласно теореме $1$, в точке $x_0$ функция $f$ имеет скачок, а из условия монотонности следует, что $f\left(x_0-0\right)<f\left(x_0+0\right)$. Итак, если $x<x_0$, то $f\left(x\right)\leqslant f\left(x_0-0\right)$, а при $x>x_0$ имеем $f\left(x\right)\geqslant f\left(x_0+0\right)$, т.е. на интервале $\left(f\left(x_0-0\right), f\left(x_0+0\right)\right)$ содержится разве что единственная точка $f\left(x_0\right)$ из области значения функции $E\left(f\right)$, что противоречит условию.
Случаи $x_0=a$ и $x_0=b$ исчерпываются аналогичным образом, и тем самым завершается доказательство теоремы.
Замечание. Теорема $3$ теряет силу, если отбросить условие монотонности функции $f$. Например, множество значений функции $$f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}-x, -1\leqslant x<0,\\x-1, 0\leqslant x\leqslant1, \end{matrix}\right.$$
определённой на отрезке $\left[-1, 1\right]$, представляет собой отрезок $\left[-1, 1\right]$, но в то же время эта функция разрывна в точке $x_0=0$.
Эквивалентная формулировка теоремы $3$ имеет следующий вид.
Если монотонная функция $f$ принимает все промежуточные значения между $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$, то $f$ непрерывна на отрезке $\left[a, b\right]$.
Примеры решения задач
- Найти точки разрыва функции $$f \left(x \right)= \left \{ \begin{matrix}x^2, -1 \leqslant x<0 \\ 2x-1, 0 \leqslant x<1 \end{matrix}\right.$$
Решение
$f\left(+0\right)=\lim\limits_{x \to +0} f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to +0}\left(2x-1\right)=-1$, $f\left(-0\right)=\lim\limits_{x \to -0} f\left(x\right)=\lim\limits_{x \to +0} x^2=0$. $f\left(+0\right)$ и $f\left(-0\right)$ — конечны, но не равны, поэтому точка $x=0$ — точка разрыва первого рода.
Смотрите также
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – c. 86 — с. 109
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — c. 146-185.
- «Курс лекций по математическому анализу» В.И.Коляда, А.А.Кореновский — с.78 — с.82
Непрерывность и разрывы монотонной функции
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Непрерывность и разрывы монотонной функции».