М1653. Часы

Задачa из журнала «Квант» (1998 год, 5 выпуск)

Условие

На столе лежат $ 5 $ часов со стрелками. Разрешается любые из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

Решение

Ответ: за $ 24 $ часа.

Отметим на циферблате положения часов стрелок всех пяти часов (см. рисунок). Циферблат разобьется на пять секторов. Занумеруем их по кругу. Пусть часовая стрелка проходит секторы за $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 $ часов соответственно. (Некоторые из этих чисел, нулевые; сумма $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 $ равна $ 12 $ часам.)

Чтобы перевести все часы на начало первого сектора, необходимо затратить \begin{align*} & S_1 = (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) + (x_3 + x_4 + x_5) + \\ & + (x_4 + x_5) + x_5 = x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5 \end{align*} часов. Аналогично можно посчитать величины $ S_2, S_3, S_4 $ и $ S_5 $, где $ S_i $ — время, необходимое для установки всех часов на начало $ i $-го сектора. Следовательно, \begin{align*} & S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = (1 + 2 + 3 + 4) \times \\ & \times (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = 10 \cdot 12 = 120 \end{align*} часов; наименьшая из величин $ S_i $ не превосходит $ 120 : 5 = 24 $ часа.

С другой стороны, если $ x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 $ (например, если часы показывают $12$ ч, $2$ ч $24$ мин, $4$ ч $48$ мин, $7$ ч $12$ мин и $9$ ч $36$ мин), то все $ S_i $ равны $24$ часам. Менее чем $24$ часами в такой ситуацией не обойтись.

О.Подлипский

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *