Точки экстремума

Локальный минимум.

Пусть

$f(x)$ лежит выше

$f(x_{0})$ для всех

$x\in U_{\delta }(x_{0})$ тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке

$x_{0}.$

Локальный максимум.

Пусть

$f(x)$ лежит ниже

$f(x_{0})$ для всех

$x\in U_{\delta }(x_{0})$ тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке

$x_{0}.$

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

Пример

Найти экстремумы функции $f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.$

Спойлер

Так как $f'(x) = 6x^{2} — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3),$ то критические точки функции $x_{1} = 2$ и $x_{2}=3.$ Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку $x_{1} = 2$ производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку $x_{2}=3$ производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке $x_{2}=3$ у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
$x_{1} = 2$ и $x_{2}=3,$ найдем экстремумы функции: максимум $f(2) = 14$ и минимум $f(3) = 13.$

[свернуть]