Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция $f(x)$ — интегрируема на $\left [ a;b \right ]$, то она ограничена на $\left [ a;b \right ]$.

Доказательство

$\square$  Пусть $f\in \mathbb{R}\left [ a;b \right ]$.Тогда,по определению: $\forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\forall T$ — разбиения: как только$\lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma _{T} \right(\xi ,f)-I |< \varepsilon$, где  $T =\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}$ — разбиение $\left [ a;b \right ]$; $\lambda$=max$\left \{ \triangle x_{i} \right \}$ — ранг разбиения; $\triangle x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$; $\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}$ — набор промежуточных точек, $\xi_{i}\in \bigtriangleup _{i},i=\overline{1,n}$.

Выберем $\varepsilon =1$( так как $\varepsilon$ — любое положительное) и обозначим интегральную сумму $\sigma _{T}(\xi ,f)$ через $\sigma$. Тогда $\exists \delta > 0: \forall T : \lambda < \delta \wedge \forall \left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n}\Rightarrow \left | \sigma -I \right |< 1\Leftrightarrow I-1< \sigma < I+1$.

Предположим, что  $f(x)$ не ограничена на $\left [ a;b \right ]$, и зафиксируем разбиение $T$ этого отрезка. В силу неограниченности функции  $f(x)$ на всём отрезке $\left [ a;b \right ]$ она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков $\triangle _{i}=[x_{i-1};x_{i}],i=\overline{1,n}$. Пусть для определённости это будет $\triangle _{1}=[x_{0};x_{1}]=[a;x_{1}]$. Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с $\xi _{2}$ (т.е. $\xi _{i}\in\triangle _{i},i=\overline{2,n}$).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

$\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}$

$I-1<\sigma _{T}(\xi ;f)=f(\xi _{1})\triangle x_{1}+\underset{A}{\underbrace{\sum_{i=2}^{n}f(\xi _{i})\triangle x_{i}}}<I+1$ , где A — некоторое число.

$I-1-A<f(\xi _{i})\triangle x_{1}<I+1-A$      Разделим полученное неравенство на $\triangle x_{1}$

$\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I-1-A}}<f(\xi _{1})<\underset{\triangle x_{1}}{\underline{I+1-A}}$

А это означает, что $f$ — ограничена на $\triangle _{1}$, что противоречит предположению. Следовательно, функция  $f$ ограничена на $\left [ a;b \right ]$. $\blacksquare$

Замечание

Ограниченность функции не является достаточным условием её интегрируемости.

Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Практическое применение

Для существования определенного интеграла от некоторой функции $f(x)$ последняя,помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими её интегрируемость. Поэтому данная теорема является вспомогательной( например, для критерия интегрируемости). Таким образом её практическое применение сводится к облегчению доказательств более сложных теорем.

Литература:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Определенный интеграл»
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.:Высш.школа,1981,т.I — 687с.(с 442-443)
• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс — 9-е изд. — М.:Айрис-пресс,2009.- 608 с.( с 259-260)

Смотрите дополнительно:

• В.А.Глазнев Высшая математика( 1 часть)
• Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману

Тест по теме "Ограниченность интегрируемой по Риману функции"

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Небольшой тест по данной теме

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Теорема об ограниченности интегрируемой по Риману функции иначе называется

   • Необходимое условие интегрируемости
   • Достаточное условие интегрируемости
   • Альтернативы нет
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Расположите утверждения в таком порядке, чтобы из первого следовало второе

   • Функция интегрируема по Риману на отрезке
   • Функция ограничена на данном отрезке
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Расшифруйте запись: $\lambda =max\left \{ \triangle x_{i} \right \}$ ( несколько вариантов)

   • Ранг разбиения
   • Радиус разбиения
   • Диаметр разбиения
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Если функция ограничена на некотором отрезке $[a;b]$, то…

   • Эта функция интегрируема по Риману на данном отрезке
   • Эта функция не интегрируема по Риману на данном отрезке
   • Возможны оба варианта
   Правильно
   

   Неправильно