Рассмотрим последовательность latexxnlatex=(1+1n)n, latexn∈N.
Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.
Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:
latex(a+b)n= latexan+n1⋅an−1⋅b+n(n−1)1⋅2⋅an−2⋅b2+⋯+
latex+n(n−1)(n−2)⋯(n−(n−1))1⋅2⋅3⋅⋯⋅n⋅bn.
Полагая, что latexa=1,b=1n, получим:
latex(1+1n)n=1+n1⋅1n+n(n−1)1⋅2⋅1n2+
latex+n(n−1)(n−2)1⋅2⋅3⋅1n3+…+n(n−1)(n−2)…(n−(n−1))1⋅2⋅3⋅…⋅n⋅1nn=
latex=1+1+11⋅2(1−1n)+11⋅2⋅3(1−1n)(1−2n)+⋯+
latex+11⋅2⋅3⋯⋅n(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n).
latex(1+1n)n=1+1+11⋅2(1−1n)+11⋅2⋅3(1−1n)(1−2n)+⋯+
latex+11⋅2⋅3⋯⋅n(1−1n)(1−2n)⋯(1−n−1n).(∗)
Из равенства latex(∗) следует, что с увеличением latexn число положительных слагаемых в правой части увеличивается.
Кроме того, при увеличении latexn число latex1n — убывает,
поэтому величины latex(1−1n), latex(1−1n), latex⋯ возрастают.
Поэтому последовательность {latexxn} = latex{(1+1n)n} — возрастающая, при этом latex(1+1n)n>2.(∗∗)
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства latex(∗) на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:
latex(1+1n)n<1+1+11⋅2+11⋅2⋅3+⋯+11⋅2⋅3⋅⋯⋅n.
Усилим полученное неравенство, заменив числа latex3,4,5,⋯,n, стоящие в знаменателях дробей, числом latex2:
latex(1+1n)n=1+(1+12+122+⋯+12n−1).
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
latex1+12+122+⋯+12n−1=1⋅(1−(12)n)1−12=2(1−12n)<2.
Поэтому: latex(1+1n)n<1+2=3.(∗∗∗)
Итак, последовательность ограничена, при этом для latexn∈N выполняются неравенства latex(∗∗) и latex(∗∗∗):
latex2<(1+1n)n<3.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой latexe :
latexlimx→∞latex(1+1n)n=e.
Определение:
Числом latexe называется предел последовательности latexxn=(1+1n)n,n∈N, т. е. latexe=limn→∞(1+1n)n.
Это число иррациональное и приближенно равно latexe=2.718281828⋯. Логарифмы с основанием latexe называются натуральными и обозначаются latexlogex=lnx. Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.
Пример.
Найти предел latexlimx→∞(1+2x)x.
Решение.
Преобразуем предел:
latexlimx→∞(1+2x)x=limx→∞ latex(1+1x2)x2⋅2=e2.
Литература
- Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
- В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.
Число е
Число е
