Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Дифференцируемость сложной функции

Теорема (о дифференцировании сложной функции)

Если функции latexz=f(y) и latexy=φ(x) дифференцируемы соответственно в точках latexy0 и latexx0, где latexy0=φ(x0), то latexz=f(φ(x)) — дифференцируема в точке latexx0, причём latexz′(x0)=f′(y0)⋅φ′(x0)=f′(φ(x0))⋅φ′(x0).

Доказательство

Т.к. функции latexf и latexφ непрерывны, то latexz(x)=f(φ(x)) — непрерывны в точке latexx0⇒z определена в latexuδ(x0)

latex|Δx|<δ

latexΔy=φ(x0+Δx)—φ(x0)
latexΔz=z(x0+Δx)−z(x0)

latexΔz=f(y)=f(φ(x))
latexΔz=f′(y0)⋅Δy+Δy⋅α(Δy), где latexlimΔy→0α(Δy)=0
latex \frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f'(y_0) \Delta y + \Delta y \cdot \alpha (\Delta y)}{\Delta x}=&s=2
latex =\lim\limits_{\Delta x \to 0}(f'(y_0)\cdot \underset{\underset{\varphi'(x_0)}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x}}} + \underset{\underset{0}{\downarrow}}{\underbrace{\frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \alpha (\Delta x)}})=f'(y_0) \cdot \varphi'(x_0) &s=2
Теорема доказана.

Примеры

latex (e^{2x+\sin x})’=e^{2x+\sin x} \cdot (2x + \sin x)’ = e^{2x+\sin x} \cdot (2+\cos x) &s=1latex (\ln \sqrt{1+x^2})’=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} &s=1latex (\textrm{tg} \frac{x^2}{3+\sin x})’=\textrm{tg} \frac{1}{\cos^2(\frac{x^2}{3+\sin x})} \cdot \frac{2x \cdot (3+\sin x) — x^2 \cdot \cos x}{(3+\sin x)^2} &s=1

Следствие (об инвариантности формы первого дифференциала)

Дифференциал функции latexy=f(x) имеет один и тот же вид latexdy=f′(x)dx как в случае, когда latexx — независимая переменная, так и в случае, когда latexx — дифференцируемая функция какого-либо другого переменного.

Доказательство

Пусть latexx зависит от latext, latexx=φ(t)
latexy=f(φ(t))=z(t)
Тогда
latexdy=z′(t)dt=(f(φ(t))′dt=f′(φ(t))⋅dx⏞φ′(t)dt
latexdy=f′(x)dx, что и требовалось доказать.

Вычисление производной степенно-показательной функции

Пусть latexu(x)v(x),u(x)>0, latexu и latexv — дифференцируемы, latexz=uv=ev⋅lnu, тогда вычисление производной производится с помощью следующей формулы:
latexz′(x)=(ev(x)⋅lnu(x))′=ev⋅lnu⋅(v⋅lnu)′=uv⋅(v′⋅lnu+v⋅1u⋅u′)
То есть вначале производная берется как от степенной функции, а потом как от показательной.

Пример

latex(xx)′=(ex⋅lnx)′=xx(lnx+x⋅1x⋅1)=xx(lnx+1)

Список литературы:

Тест: дифференцируемость сложной функции

В этом тесте вы можете проверить свои знания по теме «дифференцируемость сложной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.


Спойлер

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *