Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция $f(x)$ называется монотонно возрастающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}>$ $x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Функция $f(x)$ называется монотонно убывающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>$ $x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Функция $f(x)$ называется строго монотонно убывающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>$$x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$

Функция $f(x)$ называется строго монотонно возрастающей на отрезке $[a;b]$, если $\forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>$$x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$

Пример графика монотонно возрастающей функции.

На графике видно, что $\forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}$, соответствующие значения функции $f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Пример графика монотонно убывающей функции.

На графике видно, что $\forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}$, соответствующие значения функции $f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция $f(x)$ определена и монотонна на отрезке $[a;b]$, то в каждой точке $x_{0}\in (a;b)$ эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках $a$ и $b$ правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция $f(x)$ монотонно возрастает на $[a;b]$. Выберем произвольную внутреннюю точку $x_{0}\in (a;b]$. Тогда $\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow$$f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow$ $f(x)$ ограничена сверху на $[a;x_{0})\Rightarrow$$\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0})$.
Согласно определению:
а) $\forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow$$f(x) \leqslant M$
б) $\forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:$$M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }),$ обозначим $\delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0$.
Если $x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0})$, то $f(x_{\varepsilon })\leq f(x)$.
Итог: $\forall \varepsilon >0\exists \delta>0:$$\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):$$M-\varepsilon <$ $f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<$ $M+\varepsilon \Leftrightarrow$$|f(x)-M|< \varepsilon$
$\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M$
Итак $f(x_{0}-0)= \sup f(x)$, $a\leqslant x<x_{0}$.
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке $x_{0}\in [a;b)$ предел справа причем $f(x_{0}+0)=\inf f(x)$, $x_{0}<x\leqslant b$.
Следствие. Если функция $f$ определена и монотонна на интервале $(a;b)$, $\forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \[/latex] предел справа и слева, причем если [latex]f$ возрастает, то
$f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)$ $\leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=$$f(x_{0}+0)$,
если убывает, то
$f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)$ $\geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=$$f(x_{0}+0)$.

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
• Вартанян Г. М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.57. Предел монотонной функции. (с.133-134)

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 5

   Дать определение строго монотонно возрастающей функции на отрезке $[a;b]$

   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)> f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$$
   • $$\forall x, y\in [a;b],x>y\Rightarrow f(x)< f(y)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 5

   Вставьте пропущенные слова.
   
   $$Если~ функция ~ f(x) ~определена ~и~ монотонна~ на ~отрезке ~ [a;b],$$
   $$~то~ в ~каждой~ точке ~x ~ из ~ (a;b)$$
   $$эта~ функция~ имеет ~конечные ~пределы ~слева~ и~ справа,~а ~в ~точках~ a~ и~ b$$

   • (правосторонний) и (левосторонний) пределы.
   Правильно
   

   Неправильно