Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Спойлер

  1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция sgn x постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид F(x)=x+C (или F(x)=-x+C), где C — некоторое число.
  2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции sgn x имеет вид F_1=-x+C_1, а на интервале (0,1) любая первообразная функции sgn x имеет вид F_2(x)=x+C_2.

При любом выборе постоянных C_1 и C_2 мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать C_1=C_2=C, то получим функцию F(x)=|x|+C, недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция sgn x не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

 

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки 0. Как видно lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1 и lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1. По  теореме*  предел функции в точке 0 не существует.

* Функция f(x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке a.

[свернуть]

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Пример функции, не имеющей первообразной: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *