Дифференцируемость и арифметические операции

Если функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$, то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: $\alpha f(x)\pm\beta g(x)$, $f(x)g(x)$, $\frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)$;

Причём:

1. ${[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)$($\alpha$ и $\beta$ — некоторые константы);
2. ${[f(x)g(x)]}’ = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$;
3. ${[\frac {f(x)}{g(x)}]}’ =\frac{{f}'(x)g(x) — f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0)$;

Доказательство :

1. Достаточно доказательства для случая $y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);$
   $y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=$
   $=y(x + \Delta x) — y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) — \alpha f(x) — \beta g(x)=$
   $=\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) — \beta g(x) =$
   $=\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow$ $\frac{\Delta y}{\Delta x} =$ $=\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=$
   $\alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =$ $={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)$
   $\Rightarrow$ В общем случае: ${[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)$;
2. $y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) =$
   $= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) — f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] — f(x)g(x) =$
   $= \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow$
   $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g$
   При переходе к пределам получим следующее:
   $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0($в силу непрерывности дифференцируемой функции $g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);$
   $\Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)$, что и требовалось доказать;
3. $y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow$
   $\Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} — \frac{f(x)}{g(x)}=$
   $= \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =$
   $\frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) — f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=$
   $\frac{\Delta f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}$
   $\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} — \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}$
   Перейдя к пределам получим:
   $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) — {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}$, что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

• $d(\alpha f+\beta g)=\alpha df + \beta dg;$
  Другими словами оператор дифференцирования является линейным оператором.
• $d(fg) = gdf + fdg;$
• $d(\frac{f}{g}), g \neq 0 = \frac{gdf — fdg}{g^2};$

Примеры:

Тест:

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Если чувствуете себя неуверенно в этой теме перечитайте материал.

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 4

   Установите соответствие между видом функции состоящей из двух дифференцируемых функций и формулой дифференцирования.

   Элементы сортировки

   • $$\alpha {f}'(x)$$
   • $${f}'(x) \pm {g}'(x)$$
   • $${f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)$$
   • $$\frac{{f}'(x)g(x) - f(x){g}'(x)}{[g(x)]^{2}}$$

   • $$\alpha f(x)$$

   • $$f(x) \pm g(x)$$

   • $$f(x)g(x)$$

   • $$\frac{f(x)}{g(x)}, g(x) \neq 0$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 3

   Выберите правильные тождества.

   • $${(\frac{\sin x}{x})}' = \frac{\cos x(x) - \sin x}{x^{2}}$$
   • $${(5x^{\frac{2}{3}})}' = 5x^{\frac{-1}{3}}$$
   • $${(\sin x \cos x)}' = \cos (2x)$$
   • $${(3\cos (-3x))}' = -9\sin(3x)$$
   • $${(\frac{1}{x} + \ln x)}' = \frac{x+1}{x^{2}}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 4

   
   Установите соответствие между функциями и их дифференциалами в окрестности точки $x_{0}=2$.

   Элементы сортировки

   • $$df(2)=(2e^{2x}x^{2}+2xe^{2x})(x-2)$$
   • $$df(2)=3(x-2)(\frac{2-2\ln x}{4x^{2}})$$
   • $$df(2)=(x-2)[3-\frac{8}{x^3}]$$
   • $$df(2)=[{3x^2-6x^2-8x}{x^4}](x-2)$$

   • $$f(x)=e^{2x}x^{2}$$

   • $$f(x)=\frac{3\ln x}{2x}$$

   • $$f(x)=3x+\frac{4}{x^2}$$

   • $$f(x)=\frac{3x+4}{x^2}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Список литературы:

• Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 111-112.
• Лекции Зои Михайловны Лысенко.