Суммы Дарбу и их свойства

Существенное продвижение в теории определенного интеграла принадлежит Г. Дарбу, который ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (впоследствии названные суммами Дарбу).

Суммы Дарбу

Итак, пусть функция f\left(x\right)ограничена на \left[a;b\right] и существует разбиение этого отрезка T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n}. Это значит, что fограничена на любом \triangle _{i}=\left[x_{i-1};x_{i}\right], i =\overline{1,n}. Отсюда, по второй теореме Вейtрштрасса\exists M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f(x)}, \exists m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)},  i=\overline{1,n}.

Итак, пусть мы выбрали какое-то конкретное разбиение отрезка  [a;b] на n частей. Теперь выберем на каждой из этих частей промежуточные точки \xi _{i} так, чтобы сумма площадей получившихся прямоугольников была минимальной. (см. задачу о вычислении площади криволинейной трапеции)

Построим интегральную сумму следующим способом: на каждом интервале \triangle _{i} разбиения T точку \xi _{i} будем выбирать так, чтобы получался прямоугольник минимальной площади, т.е. чтобы высота f\left(\xi _{i}\right) была наименьшей. Наименьшую высоту нам как раз и даст операция \inf f(x)m_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\inf f(x)}. Интегральная сумма, построенная на таких прямоугольниках, очевидно, есть самая маленькая из всевозможных сумм, получаемых на данном разбиении. Эта сумма называется нижней суммой Дарбу.

Точно так же можно построить и наибольшую для данного разбиения сумму: на каждом из интервалов \triangle _{i} разбиения T мы выбираем точку \xi _{i} так, чтобы значение f\left(\xi _{i}\right) было максимальным: M_{i}=\underset{x\in \triangle _{i}}{\sup f\left(x\right)}. Этим значениям соответствует интегральная сумма, называемая верхней суммой Дарбу. Теперь дадим более строгое определение.


Определение

\underbrace{S_{T}=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}} — верхняя сумма Дарбу

\underbrace{s_{T}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}} — нижняя сумма Дарбу


Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек \xi _{i}.

Свойства сумм Дарбу

Свойство 1^{\circ}. 

Для любой выборки \xi =\left \{ \xi _{i} \right \}_{i=1}^{n} и разбиения T=\left \{ x_{i} \right \}_{i=0}^{n} справедливы неравенства: s_{T}\leq \sigma _{T}\left(\xi ,f\right)\leq S_{T}.  (*)

Спойлер

\square Так как \forall\xi _{i}\in \triangle _{i} выполняются неравенства m_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\leq M_{i}. Домножим все части на \triangle x_{i}.

m_{i}\triangle x_{i}\leq f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}\leq M_{i}\triangle x_{i},i=\overline{1,n}

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

\underset{s_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i}\triangle x_{i}}}\leq\underset{\sigma _{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\triangle x_{i}}}\leq \underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i}\triangle x_{i}}} (**)

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы \sigma _{T} утверждения (*) и (**) равносильны.\blacksquare

[свернуть]

 

Свойство 2^{\circ}.

При T — фиксированном, справедливы равенства: S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right), s_{T}=\inf \sigma_{T}\left(\xi ,f\right).

Спойлер

\square  Докажем первое равенство. Необходимо показать, что S_{T} — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы (см. опр. точной верхней и нижней границ множества). Т.е. нужно показать следующее: \forall \varepsilon > 0 \exists {\xi }': S_{T}-\varepsilon < \sigma _{T}\left({\xi }',f\right).  (*)

Т.к. M_{i}=\underset{x\in \triangle_{i}}{\sup f\left(x\right)}, то

\forall \varepsilon > o \ \exists\ {\xi }'_{i}\in \triangle _{i}:

M_{i}-\frac{\varepsilon }{b-a}< f\left({\xi _{i}}'\right)

0<M_{i}-f\left({\xi _{i}}'\right)< \frac{\varepsilon }{b-a}, i=\overline{1,n}

Домножим на \triangle x_{i}:

0\leq M_{i}\triangle x_{i}-f\left({\xi _{i}}'\right)\triangle x_{i}< \frac{\varepsilon}{b-a}\triangle x_{i}

Просуммируем i- ые элементы:

0\leq\underset{S_{T}}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} M_{i}\triangle x_{i}}}-\underset{\sigma _{T}\left({\xi _{i}}',f\right)}{\underbrace{\sum_{i=1}^{n}f\left({\xi _{i}}'\right)\triangle x_{i}}}<\underset{\varepsilon }{\underbrace{\sum_{i=1}^{n} \frac{\varepsilon }{b-a}\triangle x_{i}}}

0\leq S_{T}-\sigma _{T}\left({\xi }',f\right)< \varepsilon (**)

Неравенства (*) и (**) равносильны.

Вывод: получили, что S_{T}  — минимальный предел верхних границ для интегральной суммы \Rightarrow S_{T}=\sup \sigma _{T}\left(\xi ,f\right).

Аналогично доказывается второе утверждение.\blacksquare

[свернуть]

 Определение

Назовём разбиение T_{2} продолжением (измельчением) разбиения T_{1}, если каждая точка разбиения T_{1} является точкой разбиения T_{2}. Иначе говоря, разбиение T_{2} либо совпадает с разбиением T_{1}, либо получено из T_{1} добавлением по крайней мере одной новой точки.


Свойство 3^{\circ}.

Если разбиение T_{2} — продолжение разбиения T_{1}, то s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}\leq S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}} (*), то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Спойлер

\square  Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда разбиение T_{2} получается из T_{1} добавлением только одной точки {x}'\in \left(x_{i-1};x_{i}\right). Пусть {\triangle _{i}}'=\left[x_{i-1};{x}'\right] и {\triangle_{i}}''=\left[{x}';x_{i}\right]отрезки, на которые точка {x}' разбивает отрезок \triangle _{i}, а \lambda _{1}={x}'-x_{i-1} и \lambda _{2}=x_{i}-{x}' — длины этих отрезков.

Обозначим {m_{i}}'=\underset{x\in {\triangle _{i}}'}{\inf f\left(x\right)}, {m_{i}}''=\underset{x\in {\triangle _{i}}''}{\inf f\left(x\right)}, {m_{i}}=\underset{x\in {\triangle _{i}}}{\inf f\left(x\right)}. Очевидно,что {m_{i}}'\geq m_{i}, {m_{i}}''\geq m_{i}. В суммах s_{T_{2}} и s_{T_{1}} равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком \triangle _{i}. Поэтому:

s_{T_{2}}-s_{T_{1}}={m_{i}}'\lambda _{1}+{m_{i}}''\lambda _{2}-m_{i}(\lambda _{1}+\lambda _{2})= \left({m_{i}}'-m_{i}\right)\lambda _{1}+({m_{i}}''-m_{i})\lambda _{2}\geq 0\Rightarrow s_{T_{1}}\leq s_{T_{2}}

Аналогично доказывается неравенство S_{T_{2}}\leq S_{T_{1}}. Отсюда, используя неравенство s_{T}\leq S_{T} (доказанное в свойстве 1), получаем цепочку неравенств (*).\blacksquare

[свернуть]

При добавлении точки x' в разбиение T верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади не закрашенного прямоугольника

Layer 1

Свойство 4^{\circ}.

Для любых разбиений {T}' и  {T}'' справедливо неравенство s_{{T}'}\leq S_{{T}''} .

Спойлер

\square Пусть разбиение T является продолжением как разбиения {T}' , так и  разбиения  {T}'' Из неравенств, доказанных в прошлом пункте, получаем следующее:

  1. s_{{T}'}\leq s_{T}\leq S_{T}
  2. S_{T}\leq S_{{T}''}

В итоге: s_{{T}'}\leq s_{T}\leq S_{T}\leq S_{{T}''}, откуда следует s_{{T}'}\leq S_{{T}''}. \blacksquare

[свернуть]

Свойство 5^{\circ}.

Существуют числа \underline{I}=\sup s_{T}, \bar{I}=\inf S_{T}, называемые верхним и нижним интегралами Дарбу, такие, что для любых разбиений {T}',{T}'' отрезка \left[a;b\right]s_{{T}'}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}''}}

Спойлер

\square Из неравенства, доказанного в 4 свойстве, по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует  \underline{I}=\sup s_{T} и  \underline{I}=\inf S_{T} (супремум и инфимум) такие, что для всевозможных разбиений отрезка \left[a;b\right] и для любых разбиений {T}',{T}''  выполняется неравенство: s_{{T}'}\leq \underline{I}\leq \bar{I}\leq {S_{{T}''}} \blacksquare

[свернуть]

Замечание

Свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке \left[a;b\right] функции.


Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции f\left(x\right)=x^{3} на отрезке \left[-2;3\right], соответствующие разбиению этого отрезка на n равных частей.

Спойлер

В этом случае \triangle x_{i}=\frac{5}{n}, x_{i}=-2+\frac{5i}{n}, i=\overline{1,n}. В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом разбиении отрезка она достигает наименьшего m_{i}=x_{i-1}^{3} и наибольшего M_{i}=x_{i}^{3} значений на левом и правом концах частичного отрезка \left[x_{i-1};x_{i}\right] соответственно. Согласно формулам, находим:

s_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(-2+5\frac{i-1}{n})^{3},  S_{T}=\frac{5}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(-2+\frac{5i}{n}\right)^{3}

Принимая во внимание, что \sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2}, \sum\limits_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}, \sum\limits_{i=1}^{n}i^{3} =\left(1+2+...+n\right)^{2}, в итоге получаем:

s_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n} + \frac{125}{4n^{2}},  S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}

Ответs_{T}=\frac{65}{4}-\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}},  S_{T}=\frac{65}{4}+\frac{175}{2n}+\frac{125}{4n^{2}}

[свернуть]

Пример 2

Для интеграла \int\limits_{0}^{\pi }\sin x dx найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка \left[0;\pi\right] на 3 равные части.

Спойлер

На отрезке \left[0;\frac{\pi }{3}\right] функция \sin x монотонно возрастает и поэтому для этого отрезка имеем m_{0}=\sin 0=0, M_{0}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

На отрезке \left[\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\right] наименьшим значением функции является m_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}, а наибольшим M_{1}=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1.

На отрезке \left[\frac{2\pi }{3};\pi\right] функция монотонно убывает, и поэтому:

m_{2}=\sin \pi =0, M_{2}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}

Т.к. все \triangle x_{i} равны \frac{\pi }{3}, то

s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)= \frac{\pi \sqrt{3}}{6}

S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)= \frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}

Ответ: s_{T}=\frac{\pi }{3}\left(0+\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)=\frac{\pi \sqrt{3}}{6}, S_{T}=\frac{\pi }{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)= \frac{\pi \left(\sqrt{3}+1\right)}{3}

[свернуть]

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
  • Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
  • Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

 

Тест по теме

Тест с элементарными вопросами по теме «Суммы Дарбу и их свойства»

Таблица лучших: Тест по теме

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Суммы Дарбу и их свойства: 2 комментария

  1. Здравствуйте!
    В главе «Суммы Дарбу», в примере №1 после слов «Принимая во внимание, что….» у Вас следуют три суммы.
    Не совсем понятно,откуда они взялись.
    Не могли бы разъяснить!
    С нетерпением жду ответа!

    1. $ \sum\limits_{i=1}^{n}i = \frac{n\left(n+1\right)}{2} $ — это сума первых $n$ натуральных чисел, вычисленная по формуле суммы арифметической прогрессии. Далее следуют сумма квадратов и сумма кубов первых $n$ натуральных чисел. Эти суммы очень любят вычислять в качестве примеров по анализу. Если Вы не знаете как это делается, то можно почитать, например, здесь или с веселыми картинками здесь. А вообще, это три частных случая формулы, открытой в начале XVII века Иоганном Фаульгабером.
      Если Вы серьёзно собираетесь когда-либо пользоваться математикой в профессиональных целях, то эту тему нужно читать по книге Конкретная математика, которую написал Д.Кнут со товарищи. Там эти суммы считают в разделе 2.5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *