Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая

 \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.

Причем: функции x и  y непрерывны на интервале [a,b], a<b; x=\varphi (t) монотонно возрастает на этом интервале и \varphi (\alpha )=a, \psi (\beta )=b.

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле  S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=\int\limits_\alpha ^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt подстановкой: S(G)=\int\limits_\alpha^\beta \psi (t)*\varphi '(t)dt

Если функция является монотонно убывающей на интервале [\beta ,\alpha], \beta < \alpha, то формула примет следующий вид:  S(G)=-\int\limits_{\beta }^{\alpha }\psi (t)*\varphi '(t)dt

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

Спойлер

Дан эллипс \left\{\begin{matrix} x=2\cos t\\y=3\sin t \end{matrix}\right.. Посчитать его площадь.

Делим эллипс абсциссой и ординатой на 4 симметричные части.

Image1

Очевидно, их площади равны — а площадь эллипса получается равной площади верхней правой четверти, умноженной на 4.

Считаем её. Она равна
-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}3\sin t*(2\cos )' dt=6\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{2}t dt=3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos 2t)dt=\frac{3\pi }{2}

Умножаем площадь одной четверти на 4, и:

Ответ — 6\pi

[свернуть]

Спойлер

Дана линия,заданная функциями x=2t-t^2 и y=2t^2-t^3.
Найти площадь ограниченной ею и осью ОХ фигуры.
Находим производную y', она равна (2t^2-t^3)'=4t-3t^3.
Находим t, при которых наша линия пересекается с осью OX. Это t=0 и t=2. Составляем формулу площади:

S=\int\limits_{0}^{2}(2t-t^2)(4t-3t^2)dt;

S=\int\limits_{0}^{2}(3t^4-10t^3+8t^2)dt;

S=\frac{3t^5}{5}-\frac{5t^4}{2}+\frac{8t^3}{3}|^2_0;

S=\frac{8}{15};
Ответ — \frac{8}{15}.

[свернуть]

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{\alpha }^{\beta }r^{2}d\varphi $$ Здесь \alpha и \beta — значения углов, ограничивающих фигуру, r — расстояние от начала координат до точки, \varphi — угол. Уравнение функции в полярных координатах — r=f(\varphi )

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

Спойлер

Найдём площадь круга. Задан уравнением r=a.

Площадь круга в первом квадранте — $$ S=\frac{1}{2} \int\limits_{0 }^{\frac{\pi }{2} }a^{2}d\varphi $$

Преобразуем этот интеграл:

S=\frac{1}{2}*\frac{\pi }{2}*a^{2}=\frac{\pi a^{2}}{4}.

Площадь всего круга — учетверённая площадь одной четверти, которую мы и подсчитали выше.

Тут должна быть картинка

S= \pi a^{2}

[свернуть]

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *