Processing math: 100%

Вычисления площадей плоских областей, ограниченных кривыми, заданными параметрически и в полярных координатах

Параметрическое задание

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a,x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая

{y=φ(t);x=ψ(t);

Причем: функции x и  y непрерывны на интервале [a,b], a<b; x=φ(t) монотонно возрастает на этом интервале и φ(α)=a,ψ(β)=b.

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле S(G)=βαψ(t)φ(t)dt

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=βαψ(t)φ(t)dt подстановкой: S(G)=βαψ(t)φ(t)dt

Если функция является монотонно убывающей на интервале [β,α],β<α, то формула примет следующий вид: S(G)=αβψ(t)φ(t)dt

Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.

Примеры:

Спойлер

Спойлер

Полярное задание

А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: S=12βαr2dφ Здесь α и β — значения углов, ограничивающих фигуру, r — расстояние от начала координат до точки, φ — угол. Уравнение функции в полярных координатах — r=f(φ)

Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.

Пример:

Спойлер

Источники:

Тест

Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.

Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *