Параметрическое задание
Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a,x=b, ось абсцисс и параметрически заданная кривая
{y=φ(t);x=ψ(t);
Причем: функции x и y непрерывны на интервале [a,b], a<b; x=φ(t) монотонно возрастает на этом интервале и φ(α)=a,ψ(β)=b.
Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле S(G)=β∫αψ(t)∗φ‘(t)dt
Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции S(G)=β∫αψ(t)∗φ‘(t)dt подстановкой: S(G)=β∫αψ(t)∗φ‘(t)dt
Если функция является монотонно убывающей на интервале [β,α],β<α, то формула примет следующий вид: S(G)=−α∫βψ(t)∗φ‘(t)dt
Что делать, если нам дана не криволинейная трапеция? Свести данную фигуру к ней. Поделить её на части (прямыми, параллельными абсциссе и ординате), площадь которых уже можно будет посчитать описанным выше способом.
Примеры:
Полярное задание
А что, если функции, ограничивающие нашу область, заданы полярно?
Есть простая формула: S=12β∫αr2dφ Здесь α и β — значения углов, ограничивающих фигуру, r — расстояние от начала координат до точки, φ — угол. Уравнение функции в полярных координатах — r=f(φ)
Помните: в полярных координатах тоже стоит делить область на простые части.
Пример:
Источники:
- Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169.
- Марон, «Дифференциальное и интегральное исисление в примерах и задачах», 1970 г.,стр. 291
Тест
Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах
В этом тесте предоставлены упражнения по пройденной теме. Если внимательно изучили материал, следовали всем данным ссылкам и рекомендациям,то вам не составит труда выполнить эти задания.
Таблица лучших: Вычисления площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |