Теорема (о дифференцируемости обратной функции)

Если $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна на $\Delta=[x_0-\delta;x_0+\delta] (\delta>0)$ и если $\exists f'(x_0) \neq 0 \Rightarrow x=\varphi(y)$ (обратное к $y=f(x)$) дифференцируемо в точке $y_0=f(x_0)$, причём $\varphi'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$

Доказательство:

$x_0-\delta \rightarrow f(x_0-\delta)=\alpha$
$x_0+\delta \rightarrow f(x_0+\delta)=\beta$
По теореме об обратной функции функция $f$ имеет обратную $x=\varphi(y)$, $y\epsilon [\alpha;\beta]$, $\varphi(x)$ — строго монотонна и непрерывна.
$y'(y_0)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=$
$\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{f'(x_0)}&s=2$

Примеры

1) Доказать, что:

$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, |x|<1&s=2$

График функции $y=arcsinx$. Обратите внимание, что масштабы по осям координат отличаются.

Решение:

2) Доказать, что:

$( \textrm{arctg} x)’ = \frac{1}{1+x^2}, x \epsilon \mathbb{R} &s=2$

Решение:

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, глава 3, §1, 94 (стр 196) 1962г.

Тест: дифференцируемость обратной функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест поможет вам проверить, насколько хорошо вы ориентируетесь в материале темы «дифференцируемость обратной функции». Для некоторых заданий может потребоваться ручка и листок бумаги.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Функция $f$ является монотонно возрастающей на $[a;b]$, если:

   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}> x_{1}\Rightarrow f(x_{2})> f(x_{1})$$
   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}> x_{1}\Rightarrow f(x_{2})< f(x_{1})$$
   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}\leq x_{1}\Rightarrow f(x_{2})\leq f(x_{1})$$
   • $$\forall x_{1},x_{2}\epsilon [a;b], x_{2}< x_{1}\Rightarrow f(x_{2})> f(x_{1})$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Найдите производную обратной функции $y=\arccos(x^{2}-2)$ в точке $x_0=1$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Найдите производную обратной функции $y=3x^2-5x$ в точке $x_0 = 1$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   В теореме о дифференцируемости обратной функции является ли условие $\exists {f}'(x)\neq 0$ необходимым?

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно