Доказательство

Решению предпошлем легко доказываемое предположение:

Решение задачи. Покажем вначале, что точки $O$ и $H$ не могут лежать на одной прямой с какой-либо из вершин треугольника (в частности, эти точки не могут совпадать). Действительно, в этом случае выходящие из вершины медиана и высота совпадают, и треугольник оказывается равнобедренным. Отсюда и из леммы уже следует, что $AOIH$, $BOIH$ и $COIH$ — невырожденные многоугольники (четырехугольники либо треугольники).

Пусть прямая $OH$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ треугольника, $BC> AB$. Для завершения решения достаточно доказать, что точка $I$ лежит внутри той же полуплоскости с границей $OH$, что и точка $B$ (рис.2). Докажем это.

Обозначим $BD=h_{s}$. Имеем: $CD>AD$. Восстановим перпендикуляр к середине отрезка $AC$, получаем: точка $O$ принадлежит треугольнику $BCD$. Обозначим через $E(K)$ точку пересечения прямой $AI(CI)$ с прямой $OH$. Необходимо доказать, что точки на прямой расположены в следующем порядке: $O,K,E,H$, т.е что $\frac{OK}{KH}< \frac{OE}{EH}.$ Но биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Отсюда и из леммы получаем: $\frac{OK}{KH}=\frac{CO}{CH}, \frac{OE}{EH}=\frac{AO}{AH}.$ Доказываемое утверждение можно теперь переписать так: $\frac{AH}{AO}< \frac{CH}{CO}$ или $CH>AH.$ Но поскольку $CD>AD$, то $CH>AH$. Отсюда и следует утверждение задачи.

В.Сендеров