M1515. О целых корнях суперпозиции трех квадратных трехчленов

Задача из журнала «Квант» (1995 год, выпуск 5)

Условие

Известно, что [latex]f(x),g(x),h(x)[/latex] — квадратные трехчлены. Может ли уравнение [latex]f(g(h(x)))=0[/latex] иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Решение

Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 — корни уравнения [latex]f(g(h(x)))=0[/latex].

Если прямая [latex]x=a[/latex] — ось параболы, задаваемой уравнением [latex]y=h(x)[/latex], то [latex]h(x_{1})=h(x_{2})[/latex] тогда и только тогда, когда [latex]x_{1}+x_{2}=2a[/latex].

Многочлен [latex]f(g(x))[/latex] имеет не более четырех корней, но числа [latex]h(1), h(2),…, h(8)[/latex] являются его корнями, следовательно, [latex]a=4.5[/latex] и [latex]h(4)=h(5),h(3)=h(6),h(2)=h(7),h(1)=h(8)[/latex]. Кроме того, мы попутно доказали, что числа [latex]h(1),h(2),h(3),h(4)[/latex] образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трехчлен [latex]f(x)[/latex] и его корни [latex]g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)), g(h(4))[/latex], получаем, что [latex]h(1)+h(4)=2b, h(2)+h(3)=2b[/latex], где прямая [latex]x=b[/latex] — ось параболы, задаваемой уравнением [latex]y=g(x)[/latex]. Но из уравнения [latex]h(1)+h(4)=h(2)+h(3)[/latex] для [latex]h(x)=Ax^{2}+Bx+C[/latex] следует, что [latex]A=0[/latex]. Противоречие.

Ответ: уравнение [latex]f(g(h(x)))=0[/latex] не может иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

С.Токарев

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *