Бинарные отношения на произвольных множествах.
Пусть заданы множества $latex X $ и $latex Y, $ тогда бинарным отношением $latex R $ из множества $latex X $ в множество $latex Y $ называется подмножество декартова произведения $latex X $ и $latex Y $:
$latex R \subset X \times Y $.
Напомним свойства отношений:
Пусть $latex R\subset A^2. $ Тогда отношение $latex R $ называется:
— рефлесивным, если $latex aRa $ для любого $latex a\in A $;
— антирефлексивным, если $latex a\overline R a $ для любого $latex a\in A; $
— симметричным, если из $latex aRb $ следует $latex bRa $ для любых $latex a\in A, $ $latex b\in A; $
-антисимметричным, если $latex a\not= b, $ то из $latex aRb $ следует $latex b\overline R $ для любых $latex a\in A, $ $latex b\in A; $
— транзитивным, если из $latex aRb $ и $latex bRc $ следует $latex aRc $ для любых $latex a\in A, $ $latex b\in A, $ $latex c\in A; $
Примеры:
1. Пусть $latex A = \left\{1, 2, 7\right\}, $ $latex B = \left\{3, 9 \right\}. $
Задаем отношения:
$latex R_1 = \left\{(1, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3)\right\} \subset A\times B; $
$latex R_2 = \left\{(1, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)\right\}\subset A\times A; $
2. Пусть $latex R\subseteq \mathbb{R} $, $latex R=\left\{(x, y)\,|\, 2x \geq 3y \right\}, $ определить его свойства.
Решение:
— Не является рефлексивным, так как, например, $latex (1,1) \not \in R. $
— Не является антирефлексивным, так как, например, $latex (-1, -1) \in R. $
— Не является симметричным, так как можно привести контрпример: $latex (5, 1) \in R $, а $latex (1, 5)\not\in R. $
— Не является антисимметричным, так как нельзя подобрать такие $latex (x, y)\in R $ и $latex (y, x)\in R, $ что $latex y= x. $
— Не является транзитивным, так как можно привести контрпример:
$latex x=-1, y=-2, z=1, $ тогда $latex 2x\geq 3y, 2y \geq 3z \Rightarrow 2x\geq 3z $, но $latex -2 \leq 3. $
3. Пусть $latex R \subseteq \mathbb{N}^2, $
$latex R=\left\{(x, y)|\, x~\vdots~y = 0 \right\} $,
определить его свойства.
Решение:
— Является рефлексивным, так как $latex x~\vdots~x = 0 $.
— Не является антирефлексивным, так как уже рефлексивно.
— Не является симметричным, так как не обязательно, что $latex y~\vdots ~x = 0 $, например,
возьмем пару $latex (10, 2) $, $latex 10 $ делится на $latex 2 $, но $latex 2 $ не делится на $latex 10 $.
— Является антисимметричным, так как $latex x~\vdots~y= 0 $ и $latex y~\vdots~ x =0 $, когда $latex x= y $.
— Является транзитивным, так как $latex ~x\vdots ~y = 0, y~\vdots ~z= 0 \Rightarrow x~\vdots~ z =0 $.
Литература:
- Белозеров Г.С. Конспект лекций по алгебре и геометрии
- Федоровский С.В. Конспект лекций по математической логике
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, (Стр. 47-48)
- Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 1995
Тестовые вопросы по изложенному материалуБинарные отношения на произвольных множествах