Второй замечательный предел. Следствия

Вторым замечательным пределом называется равенство

\lim_{x\rightarrow 0}\limits (1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

Замечательный предел

Спойлер

Будем использовать определение предела по Гейне. Пусть \left \{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} — некоторая числовая последовательность со свойством

x_n>0 \forall n\in \mathbb{N}

 \lim_{x\rightarrow 0}\limits x_n = 0.

Согласно принципу Архимеда \forall n \in \mathbb{N} \: \: \exists m_n \in \mathbb{N}, что m_n\leqslant \frac{1}{x_n}<m_n+1. Тогда

(1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n}\leqslant(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}\leqslant(1+\frac{1}{m_n})^{m_n+1}.

Поскольку \lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{n})^{n}=e, то

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n+1}\cdot (1+\frac{1}{m_n+1})^{-1}=e \lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n})^{m_n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n})^{m_n} \cdot (1+\frac{1}{m_n})=e.

Отсюда, по теореме о трёх последовательностях, имеем

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e.

Дальше, пусть \left \{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} — числовая последовательность со свойством

-1<x_n<0\forall n \in \mathbb{N}

 \lim_{n \rightarrow \infty}\limits (x_n)=0.

Для этой последовательности, имеем

(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=(1+x_n)^{\frac{-1}{-x_n}}=\frac{1}{(1+x_n)^{-\frac{1}{x_n}}}.

Обозначим

{z}_{n}=-\frac{{x}_{n}}{1+{x}_{n}}.

Тогда {z}_{n}>0 и

\frac{1}{{(1+{x}_{n})^{-\frac{1}{{x}_{n}}}}}= (1-\frac{{x}_{n}}{1+{x}_{n}})^{-\frac{1}{{x}_{n}} \cdot \frac{1+{x}_{n}}{1+{x}_{n}}}= (1+{z}_{n})^{\frac{{z}_{n}+1}{{z}_{n}}}= (1+{z}_{n})^{1+\frac{1}{{z}_{n}}}= (1+{z}_{n})^{\frac{1}{{z}_{n}}} \cdot (1+{z}_{n}).

Таким образом, учитывая первую часть доказательства, получаем

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e.

Объединяя эти два случая имеем:

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

[свернуть]

Спойлер

  1. \lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{ln(1+x)}{x}=1,
  2. \lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a latex](a>0)[/latex],
  3. \lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{(1+x)^{a}-1}{x}=a.

[свернуть]

Рассмотрим 2 примера.

Спойлер

Найдем предел \lim_{x \rightarrow\infty}\limits(1+\frac{t}{x})^{x}.

Здесь параметр t\in\mathbb{R} — фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену a=\frac{t}{x}, тогда a\overset{x\rightarrow\infty}{\rightarrow}0 и x=\frac{t}{a}. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Поэтому

\lim_{x \rightarrow\infty}\limits(1+\frac{t}{x})^{x}= \lim_{a \rightarrow0}\limits(1+a)^{\frac{1}{a}\cdot t}= (\lim_{a \rightarrow0}\limits(1+a)^{\frac{1}{a}})^{t}= e^{t}

[свернуть]
Спойлер

Найдем предел \lim_{x \rightarrow\infty}\limits(\frac{x+1}{x+3})^{2x+1}

\lim\limits_{x \rightarrow\infty}(\frac{x+1}{x+3})^{2x+1}= \lim\limits_{x \rightarrow\infty}(1-\frac{2}{x+3})^{(-\frac{x+3}{2}) \cdot (-\frac{2}{x+3})\cdot(2x+1)}= \lim\limits_{x \rightarrow\infty}e^{-\frac{4x+2}{x+3}}= e^{-4}= \frac{1}{e^{4}}

[свернуть]

Тест

Замечательный предел

Таблица лучших: Замечательный предел

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 26-27).

Б. П. Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 60-63).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *