Processing math: 100%

Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией ∗ называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция ∗ в G ассоциативна: a∗(b∗c)=(a∗b)∗c∀a,b,c∈G;
  2. В G существует нейтральный элемент θ:a∗θ=θ∗a=a∀a∈G;
  3. Для каждого элемента a∈G существует обратный ему элемент a−1∈G:a∗a−1=a−1∗a=θ.

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение ⋅, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+a∀a,b∈K;
    2. Операция сложения ассоциативна:a+(b+c)=(a+b)+c∀a,b,c∈K;
    3. Существует нулевой элемент θ:a+θ=θ+a=a∀a∈K;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (−a)∈K:a+(−a)=(−a)+a=θ;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c∀a,b,c∈K
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅cc⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b∀a,b,c∈K

Если операция умножения коммутативна:a⋅b=b⋅a, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e:a⋅e=e⋅a=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. ∀a,b∈P, где a≠0, уравнение ax=b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq=b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *