Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.

Группа

Множество G с бинарной алгебраической операцией \ast называется группой, если выполняются следующие условия:

  1. Операция \ast в G ассоциативна: a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G;
  2. В G существует нейтральный элемент \theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;
  3. Для каждого элемента a\in G существует обратный ему элемент a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta .

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Спойлер

  1. Ассоциативность очевидна
    \forall a,b,c\in R a+(b+c)=(a+b)+c
  2. Нейтральным элементом является число 0.
     0+a=a+0=a \forall a\in r
  3. Для каждого элемента множества R существует обратные ему элемент, также принадлежащий множеству R .
     a^{-1}=-a
    \forall a\in R a+(-a)=(-a)+a=\theta=0

\Rightarrow R является группой относительно операции сложения.
Проверим коммутативность:
 \forall a,b\in R a+b=b+aверно.
\RightarrowГруппа абелева.
Что и требовалось доказать

[свернуть]

Кольцо

Множество K , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение \cdot, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

  1. Относительно операции сложения множество K — коммутативная группа, т.е:
    1. Операция сложения коммутативна: a+b=b+a \forall a,b\in K;
    2. Операция сложения ассоциативна: a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;
    3. Существует нулевой элемент \theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;
    4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент (-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;
  2. Операция умножения в множестве K ассоциативна:
    a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c  \forall a,b,c\in K
  3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
    (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c  c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b  \forall a,b,c\in K

Если операция умножения коммутативна:a\cdot b=b\cdot a, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент e: a\cdot e=e\cdot a=a, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Спойлер

    1. Коммутативность сложения
       (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)  \forall (a+bi),(c+di)\in C
    2. Ассоциативность сложения
       ((a+bi)+(c+di))+(e+fi)=((a+c)+(b+d)i)+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+bi)+((c+di)+(e+fi))  \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C
    3. Существование нейтрального элемента
       \forall (a+bi)\in C  (a+bi)+(0+0i)=(a+bi)
    4. Существование обратного элемента
       \forall (a+bi)\in C \exists (-a-bi)\in C:<br /> (a+bi)+(-a-bi)=(0+0i)
  1. Ассоциативность умножения
     \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C<br /> (a+bi)\cdot ((c+di)\cdot (e+fi))=(a+bi)\cdot ((ce-df)+(cf+de)i)=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+de))+(a\cdot (cf+de)+b\cdot (ce-df))i)=(ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i=(e\cdot (ac-bd)-f\cdot (ad+bc))+(e\cdot (ad+bc)+ f\cdot (ac-bd))=((a+bi)\cdot (c+di))\cdot (e+fi)
  2. Дистрибутивность сложения и умножения
     \forall (a+bi),(c+di),(e+fi)\in C<br /> ((a+bi)+(c+di))\cdot (e+fi)=((a+c)+(b+d)i)\cdot (e+fi)=((a+c)e-(b+d)f)+((a+c)f+(b+d)e)i)=(ae+ce-bf-df)+(af+cf+be+de)i=(ae-bf)+(be+af)i+(ce-df)+(cf+de)i=(a+bi)\cdot (e+fi)+(c+di)\cdot (e+fi)

Множество комплексных чисел является кольцом

[свернуть]

Поле

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. \forall a,b\in P, где a\neq 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

2. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *