Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция f определенна на множестве X\subset R^{n} называется равномерно непрерывной на X, если \forall\varepsilon > 0, \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0, что для любых двух точек x, y \in X, удовлетворяющих условию \rho(x, y) < \delta, выполняется неравенство |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Теорема Кантора

Если функция f определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Спойлер

Пусть функция f определена и непрерывна на компактном множестве M\subset R^{n}.

\forall x_{0} \in M, \forall \varepsilon' > 0, \exists \delta' = \delta'(x_{0}, \varepsilon')>0

такое, что если x\in M, то\rho(x_{0}, x)<\delta', то |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon'. Выберем произвольное \varepsilon>0 и положим \varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}. Построим для каждой точки x_{0}\in M окрестность

U(x_{0}, \frac{\delta'}{2})= U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon')}{2})

Объединение таких окрестностей покрывает множество K. Поскольку K — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие \left \{U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m} такое, что

K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2}).

Положим \delta= min(\frac{\delta'_{1}}{2}, ... , \frac{\delta'_{m}}{2}). Возьмем произвольные точки x, y \in M, для которых \rho<\delta. Поскольку M покрывается системой \left \{U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}, то найдется такой номер k_{0}, что x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta'_{k_{0}}}{2}). Тогда \rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta'_{k_{0}}}{2} и \rho(x_{k_{0}}, y) \le \rho(x_{k_{0}}, x) + \rho(x_{k_{0}}, y)< \frac{\delta'_{k_{0}}}{2}+\delta< \delta'_{k_{0}}. Следовательно

|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(x_{k_{0}})| +  |f(x_{k_{0}})-f(y)|< \varepsilon'+ \varepsilon' = \varepsilon

[свернуть]

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *