Второй замечательный предел. Следствия

Будем использовать определение предела по Гейне. Пусть $\left \{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ — некоторая числовая последовательность со свойством

$x_n>0$, $\forall n\in \mathbb{N}$

 $\lim_{x\rightarrow 0}\limits x_n = 0$.

Согласно принципу Архимеда $\forall n \in \mathbb{N} \: \: \exists m_n \in \mathbb{N}$, что $m_n\leqslant \frac{1}{x_n}<m_n+1$. Тогда

$(1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n}\leqslant$$(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}\leqslant$$(1+\frac{1}{m_n})^{m_n+1}$.

Поскольку $\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{n})^{n}=e$, то

$\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n}=$$\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n+1}\cdot$ $(1+\frac{1}{m_n+1})^{-1}=e$, $\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n})^{m_n+1}=$$\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n})^{m_n} \cdot$ $(1+\frac{1}{m_n})=e$.

Отсюда, по теореме о трёх последовательностях, имеем

$\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e$.

Дальше, пусть $\left \{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ — числовая последовательность со свойством

$-1<x_n<0$, $\forall n \in \mathbb{N}$

 $\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (x_n)=0$.

Для этой последовательности, имеем

$(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=$$(1+x_n)^{\frac{-1}{-x_n}}=$$\frac{1}{(1+x_n)^{-\frac{1}{x_n}}}$.

Обозначим

${z}_{n}=-\frac{{x}_{n}}{1+{x}_{n}}$.

Тогда ${z}_{n}>0$ и

$\frac{1}{{(1+{x}_{n})^{-\frac{1}{{x}_{n}}}}}=$ $(1-\frac{{x}_{n}}{1+{x}_{n}})^{-\frac{1}{{x}_{n}} \cdot \frac{1+{x}_{n}}{1+{x}_{n}}}=$ $(1+{z}_{n})^{\frac{{z}_{n}+1}{{z}_{n}}}=$ $(1+{z}_{n})^{1+\frac{1}{{z}_{n}}}=$ $(1+{z}_{n})^{\frac{1}{{z}_{n}}} \cdot (1+{z}_{n})$.

Таким образом, учитывая первую часть доказательства, получаем

$\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e$.

Объединяя эти два случая имеем:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$.

1. $\lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{ln(1+x)}{x}=1$,
2. $\lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a$ latex](a>0)[/latex],
3. $\lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{(1+x)^{a}-1}{x}=a$.

Найдем предел $\lim_{x \rightarrow\infty}\limits(1+\frac{t}{x})^{x}$.

Здесь параметр $t\in\mathbb{R}$ — фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену $a=\frac{t}{x}$, тогда $a\overset{x\rightarrow\infty}{\rightarrow}0$ и $x=\frac{t}{a}$. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Поэтому

$\lim_{x \rightarrow\infty}\limits(1+\frac{t}{x})^{x}=$ $\lim_{a \rightarrow0}\limits(1+a)^{\frac{1}{a}\cdot t}=$ $(\lim_{a \rightarrow0}\limits(1+a)^{\frac{1}{a}})^{t}=$ $e^{t}$

Найдем предел $\lim_{x \rightarrow\infty}\limits(\frac{x+1}{x+3})^{2x+1}$

$\lim\limits_{x \rightarrow\infty}(\frac{x+1}{x+3})^{2x+1}=$ $\lim\limits_{x \rightarrow\infty}(1-\frac{2}{x+3})^{(-\frac{x+3}{2}) \cdot (-\frac{2}{x+3})\cdot(2x+1)}=$ $\lim\limits_{x \rightarrow\infty}e^{-\frac{4x+2}{x+3}}=$ $e^{-4}=$ $\frac{1}{e^{4}}$