Кольцо. Простейшие следствия из аксиом

Кольцо

Пусть $R$ - произвольное множество, $R\ne0$ , $»+»$ , $»\cdot»$ - бинарные алгебраические операции на $R$ .
$(R,+,\cdot)$ называется кольцом, если выполнено:

$(R,+)$ - абелева группа (аддитивная группа кольца);
Для любых (R,+,⋅)∈R выполняется:
1. $a(b + c) = ab + ac$ ;
2. $(b + c)a = ba + ca$ .

Если операция $»\cdot»$ коммутативна, то кольцо называется коммутативным. В противном случае- некоммутативным.
Операции умножения и сложения в любом кольце обладают некоторыми свойствами.
Операция сложения:
$\forall a,b,c \in R$

Коммутативна: $a + b = b + a$ ;
Ассоциативна: $a + (b + c) = (a + b) + c$ .

Операция умножения:
$\forall a,b,c \in R$

Коммутативна: $ab = ba$ ;
Ассоциативна: $a(bc) = (ab)c$ .

Операции сложения и умножения связаны законом диструбтивности:
$(a + b)c = ac + ab$ .

Примеры:

$(Z,+,\cdot)$ - кольцо целых чисел;
$(Q,+,\cdot)$ - кольцо рациональных чисел;
$(R,+,\cdot)$ - кольцо вещественных чисел;
$(Q[\sqrt{2}],+,\cdot), Q[\sqrt{2}] = \{a+b\sqrt{2 } |a,b \in Q\}$ .

Проверим, будет ли на множестве $(Q[\sqrt{2}],+,\cdot)$ кольцо.
$(a + b\sqrt{2}) = (c + d\sqrt{2}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}\in Q [ \sqrt{2}]$
Значит $(Q[\sqrt{2}], +, \cdot)$ является кольцом.

Простейшие следствия из аксиом

$\forall a \in R$ $a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0,$ $a\cdot0 = a(0 + 0) =$ $a\cdot0 + a\cdot0 |-(a\cdot0) =$ $a\cdot0 + ( — a\cdot0) =$ $(a\cdot0 + a\cdot0) + (-a\cdot0) =a\cdot0 + 0 =$ $a\cdot0 = 0$
$\forall a,b \in R (-a)b = -ab$ $(-a)b + ab = ((-a) + a)b = 0 \cdot b = 0$
$d(a — b) = da — db$ $d(a — b) = d(a + (-b)) = da + d(-b) = da + (-d)b = da — db$
$(a — b)d = ad — bd$ $(a — b)c = (a + (-b))c = ac + (-b)c = ac + (-(bc)) = ac — bc$
Если имеет единичный элемент 1, то $\forall a \in R$ $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ .