Действия над матрицами

Примеры:

1. Выполнить сложение матриц:
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix}$ .
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 &1 \\ 4& 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &1 \\ 6& 6 \end{pmatrix}$ .

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$ и $C=\begin{pmatrix} 5 &0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ . Тогда:

$A+B=$ $\begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=$ $B+A=$ $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$ .

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

$A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$ ;
$(A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$ .
$B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$ ;
$A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$ .

Как видим, $A+(B+C)=(A+B)+C$ .

2. Выполнить умножение матрицы на число:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot e$ .
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c&d \end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix} ae &be \\ ce& de \end{pmatrix}$ .

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть $\alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$ , $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}$ . Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица $A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}$ и $\alpha = 3, \beta =2$ .
Тогда $\beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix}$ ;
$\alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$ .
$\alpha \beta =6$ ;
$( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$ .
Как видим, $\alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$ .

3. Вычислить произведение матриц:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$ .
Для удобства будем называть первую матрицу $A$ а вторую матрицу $B$ . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей $3 \times 3$ и $3 \times 2$ , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$ . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$ .
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы $B$ и складываем полученные значения:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$ .
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$ , складывая результаты:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}$ .
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
$\begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}$ .
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$ .
Тогда $A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}$ .
$B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}$ .
Как видим, $A \cdot B \ne B \cdot A$ .

4. Возвести матрицу в степень:
$\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$ .
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}$ .

5. Транспонировать матрицу:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}$ .
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
$\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}$ .

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных