Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «i» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество \mathbb{R}^2 при условии выполнения следующих требований:

  1. (a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c и b=d ;
  2. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ;
  3. (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) .

[свернуть]
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение x^2+1=0 не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. \mathbb{C} — поле;
  2. \mathbb{R} \subset \mathbb{C} ;
  3. x^2+1=0 — разрешимо в \mathbb{C} (1);
  4. \mathbb{C} минимально по включениям.
Спойлер

\mathbf{I.} \mathbf{(\mathbb{C},+)} — абелева группа.

(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) ;

  • Нейтральный элемент:

(0,0)+(a,b)=(a,b) ;

  • Обратный элемент:

\forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}  \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}

(a,b)+(-a,-b)=(0,0) ;

\mathbf{II.} \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} — абелева группа.

  • Алгебраичность умножения;
  • Ассоциативность умножения;
  • Коммутативность умножения;
  • Единица:  e=(1,0)

\exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} , \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}

(a,b)(x,y)=(a,b) \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)

\begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}

Рассмотрим возможные решения системы:

1) a\neq0,~b\neq0

\begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}

(a^2+b^2)x=a^2+b^2 \Rightarrow x=1,~y=0 .

2) a\neq0,~b=0

\begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}

x=1,~y=0 .

3) a=0,~b\neq0 \Rightarrow x=1,~y=0 .

Следовательно, e=(1,0) .

  • Обратный элемент:

\forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} :

(a,b)(x,y)=(1,0)

(ax-by,bx+ay)=(1,0)

\begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}

Домножим первое уравнение системы на a , а второе — на b , a\neq0,~b\neq0 .

\begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}
(a^2+b^2)x = a \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} .

\frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} .

(a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) .

\mathbf{III.} Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
(a,b)[(c,d)+(e,f)] = (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

M \subset \mathbb{C} , M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} = \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} .

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида (a,0) ), где x  является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

  • (a,0)+(b,0) = (a+b,0) \epsilon~M ;
  • (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) \epsilon~M ;
  • (0,0)~\epsilon~M , (1,0)~\epsilon~M ;
  • -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M ;
  • (a,0)^{-1},~a\neq0 , (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M .

Таким образом, f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M

f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} .

a \to (a,0). Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

x^2+1=0 . Обозначим 0 = (0,0) , 1 = (1,0) и x = (u,v) \Rightarrow

(u,v)^2+(1,0)=(1,0)

(u^2-v^2,2uv)=(0,0)

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

\begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}

v\neq0,~u=0 ,

v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1),

Следовательно, возможные решения уравнения — (0,1),~(0,-1) .

i=(0,1),~-i=(0,-1) — мнимая единица i .

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество \mathbb{C'} множества \mathbb{C} совпадает с \mathbb{C} , если для \mathbb{C'} выполнимо:

    • \mathbb{R}\subset\mathbb{C'} ;
    • разрешимо уравнение x^2+1=0 ;
    • \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C'} , (a+b)~\epsilon~\mathbb{C'} ;
    • a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C'} .

\blacksquare

[свернуть]

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *