Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «$latex i$» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

1. $latex (a,b)=(c,d)$ $latex \Leftrightarrow$ $latex a=c$ и $latex b=d$;
2. $latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$;
3. $latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$.

$latex \mathbf{I.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)}$ — абелева группа.

• Алгебраичность сложения;
• Ассоциативность:

  $latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f)$ $latex =$ $latex (a+c,b+d)+(e,f)$ $latex =$ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f)$ $latex =$ $latex (a+(c+e),b+(d+f))$ $latex =$ $latex (a,b)+(c+e,d+f)$ $latex =$ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)]$;

• Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$;

• Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b)$;

• Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$  $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0)$;

$latex \mathbf{II.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)}$ — абелева группа.

• Алгебраичность умножения;
• Ассоциативность умножения;
• Коммутативность умножения;
• Единица:  $latex e=(1,0)$

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}$, $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)(x,y)=(a,b)$ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)$

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}$

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0$

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}$

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$.

2) $latex a\neq0,~b=0$

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}$

$latex x=1,~y=0$.

3) $latex a=0,~b\neq0$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$.

Следовательно, $latex e=(1,0)$.

• Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$:

$latex (a,b)(x,y)=(1,0)$

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0)$

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}$

Домножим первое уравнение системы на $latex a$, а второе — на $latex b$, $latex a\neq0,~b\neq0$.

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}$
$latex (a^2+b^2)x = a$ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2}$.

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1$ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by$ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by$ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2}$.

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$.

$latex \mathbf{III.}$ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)]$ $latex =$ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$.

$latex \blacksquare$

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C}$, $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\}$ $latex =$ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\}$.

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0)$), где $latex x$ является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

• $latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0)$ $latex \epsilon~M$;
• $latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0)$ $latex \epsilon~M$;
• $latex (0,0)~\epsilon~M$, $latex (1,0)~\epsilon~M$;
• $latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M$;
• $latex (a,0)^{-1},~a\neq0$, $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M$.

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M$

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R}$.

• $latex f$ — биекция;
• $latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b)$;
• $latex f(ab)=f(a)\cdot f(b)$;$latex f(-a)=-(a,0)$;
  $latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$.

$latex a \to (a,0)$. Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare$

$latex x^2+1=0$. Обозначим $latex 0 = (0,0)$, $latex 1 = (1,0)$ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow$

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0)$

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0)$

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}$

$latex v\neq0,~u=0$,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1)$.

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1)$ — мнимая единица $latex i$.

$latex \blacksquare$

Любое подмножество $latex \mathbb{C’}$ множества $latex \mathbb{C}$ совпадает с $latex \mathbb{C}$, если для $latex \mathbb{C’}$ выполнимо:

• $latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’}$;
• разрешимо уравнение $latex x^2+1=0$;
• $latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’}$, $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’}$;
• $latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’}$.

$latex \blacksquare$