Формулировка:

Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторонах прямоугольника ( не содержащих эту вершину ). Докажите, что площадь одного из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

Решение:

Одно из решений (см. рисунок): если $\angle BAM=\alpha,$ то $\angle CBL=$ $180^{\circ} — (90^{\circ} — \alpha ) —$ $60^{\circ} =$ $= 30^{\circ} + \alpha,$ $\angle CAK = 30^{\circ} — \alpha,$ $\angle BCL=60^{\circ} — \alpha$, и утверждение задачи сводится к проверке тождества (для $0<\alpha <30^{\circ}$):

$\sin \alpha \cos \alpha+\sin(30^{\circ} — \alpha )\cos(30^{\circ} — \alpha ) = \sin(30^{\circ} + \alpha )\cos(30^{\circ} + \alpha ),$

или, переходя к двойным углам, $\sin 2\alpha + \sin(60^{\circ} — 2\alpha ) = \sin(60^{\circ} + 2\alpha )$.

Оно следует из формулы $\sin (60^{\circ} + 2\alpha ) — \sin(60^{\circ}-2\alpha ) = 2\sin2\alpha \cos60^{\circ}$.

А.Егоров