Доказательство

Так как функция монотонна на промежутке $\left[1,+\infty \right]$, тогда она интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $\left[1,\eta \right]$, и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле.
Если $k\leq x\leq k+1$, тогда $f(k)\geq f(x)\geq f(k+1), k=1,2, …$ (функция убывает) (рис. 1). Проинтегрировав это неравенство $\left[k,k+1\right]$ имеем: $f(k)\geq \int\limits_{k}^{k+1}{f(x)dx}\geq f(k+1), k=1,2, …$.

Суммируя от $k=1$ до $k=n$ (рис. 2) получим:

Положим $s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}$, будем иметь

Если интеграл сходится, то в силу неотрицательности $f$ справедливо неравенство:

Отсюда следует:

то есть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, а значит ряд сходится.
Если ряд сходится, пусть его сумма равна $s$, тогда $\forall n\epsilon \mathbb{N}s_{n}\leq s$  и следовательно $\forall n\epsilon \mathbb{N}\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq s$.
Пусть $\xi$, то беря n, так чтобы $n\geq \xi$, в силу неотрицательности функции имеем $\int_{1}^{\xi }{f(x)dx}\leq \int_{1}^{n}{f(x)dx}\leq s$.
Таким образом совокупность всех интегралов $\int_{1}^{\xi }{f(x)dx}$ ограничена сверху, поэтому интеграл $\int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}$ сходится.