Необходимость

Пусть $f_{n}\rightrightarrows f$ на $E$. Покажем, что $\delta_{n}=\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$.
Имеем, что $\forall\varepsilon >0$ существует такой номер $\exists n_{\varepsilon}$, что $\forall n\geq n_{\varepsilon}$ и $\forall x\in X$ выполняется неравенство:
$\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}$
Тогда $\forall n\geq n_{\varepsilon}$ будем иметь:
$\underset{x\in X}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$,
а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (1).

Достаточность

Пусть справедливо условие (1). Докажем, что последовательность функций $f_{n}(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$.

Используя неравенство $\mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )$$\mid\leq\delta_{n}$ для $x\in E$, $n\in N$, мы получим, что $\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\varepsilon$, для $x\in E$, $n\geq n_{\varepsilon}$. А это означает, что $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$, $x\in E$.

Необходимость

Пусть $f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)$, $x\in E$. Следовательно, согласно определению равномерной сходимости можно утверждать, что:

$\forall\varepsilon>0$ $\exists N_{\varepsilon}:\forall k\geq N_{\varepsilon}$ $\forall x\in E\Rightarrow\left | f_{k}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\varepsilon}{2}\quad(4)$

Пусть теперь $n\geq N_{\varepsilon}$, $p\in N$.

Тогда:

$\mid f_{n}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}$ и $\mid f_{n+p}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}$

Теперь, применяя неравенство треугольника, получим что:

$\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid =\mid (f_{n+p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f(x))\mid\leq\mid (f_{n+p}(x)-$

$f\left ( x \right )\mid+\mid f_{n}\left ( x \right )$$-f\left ( x \right )\mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad (5)$

Достаточность

Пусть дано, что выполняется условие Коши. Докажем равномерную сходимость последовательности функций.

Какое бы значение $x$ из $X$ не взяли, мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, что доказывает существование для последовательности предельной функции $f\left ( x \right )$.
Покажем, что последовательность ${f_{n}}$ сходится равномерно к функции $f$
на множестве $X$. Действительно, в силу условия (2), $\forall\varepsilon>0$ $\quad\exists n_{\varepsilon}$, что $\forall n\geq n_{\varepsilon}$, $\forall p\geq 0$ и $\forall x\in X$ справедливо неравенство

$\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}\quad (3)$
Заметив, что $\lim\limits_{p\rightarrow\infty}f_{n+p}(x)=f(x)$, перейдем к пределу в неравенстве (3) при $p\rightarrow\infty$; тогда $\forall n>n_{\varepsilon}$ и $\forall x\in X$ получим
$\mid f(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$,
а это и означает, что $f_{n}\rightrightarrows f$.

Источники:

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест для закрепления материала.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 2

   Выберите последовательности, равномерно сходящиеся при всех $x$:

   • $f_{n}\left ( x \right )=\frac{\sin x}{n}$
   • $f_{n}\left ( x \right )=e^{\frac{x}{\ln x}}$
   • $f_{n}\left ( x \right )=e^{\frac{\cos x}{n}}$
   • $f_{n}\left ( x \right )=x^{n}$
   Правильно
   

   Правильно

   Неправильно
   

   Неправильно
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Даны два утверждения.
   Утверждение 1: Последовательность $\left \{ f_{n}\left ( x \right ) \right \}$   равномерно сходящаяся на множестве $\left \{ x \right \}$.

   Утверждение 2: $\forall\varepsilon$>0 $\exists N_{\varepsilon}: \forall n\geq N_{\varepsilon}\quad\forall p\in N\quad\forall x\in\left \{ x \right \}$: $\mid f_{n+p}\left ( x \right )-f_{n}\left ( x \right )\mid$<$\varepsilon$

   • утверждение 1 и утверждение 2 эквивалентны
   • из утверждения 1 следует утверждение 2
   • из утверждения 1 не следует утверждение 2 и наоборот
   • из утверждения 2 следует утверждение 1
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Для того, чтобы последовательность функций равномерно сходилась на множестве $E$, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

   • (условие Коши, УСЛОВИЕ КОШИ)
   Правильно
   

   Правильно

   Неправильно
   

   Неправильно