Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

В данной статье, используя термин «сложная функция», мы будем понимать композицию нескольких функций.

Теорема

Пусть функции { \varphi }_{ i }(x)={ \varphi }_{ i }({ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },{ x }_{ 1 },...,{ x }_{ n })\quad i=\overline { 1,m } дифференцируемы в точке { x }^{ \circ }=({ x }_{ 1 }^{ \circ },{ x }_{ 2 }^{ \circ },...,{ x }_{ n }^{ \circ }) . Пусть функция f({ y }_{ 1 },{ y }_{ 2 },{ y }_{ 3 },...{ ,y }_{ m }) дифференцируема в точке { y }^{ \circ }=({ \varphi }_{ 1 }({ x }^{ \circ }),{ \varphi }_{ 2 }({ x }^{ \circ }),...,{ \varphi }_{ m }({ x }^{ \circ })).

Тогда сложная функция T(x)=f({ \varphi }_{ 1 }(x),{ \varphi }_{ 2 }(x),...,{ \varphi }_{ m }(x)) дифференцируема в точке { x }^{ \circ } , причем при { x\rightarrow x }^{ \circ }
$$
T(x)-T({ x }^{ \circ })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i }({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ })+o(p(x,{ x }^{ \circ }))} 
$$
$$
{A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } }  } ({ y }^{ \circ  })\frac { \partial { \varphi  }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  }),\quad i=\overline { 1,n } \quad \quad \quad \quad (1)
$$

Спойлер

Функция f(y) дифференцируема в точке { y }^{ \circ }, а значит, по теореме о существовании частных производных найдутся функции { { f }_{ j }( }y), j=\overline { 1,m } непрерывные в точке { y }^{ \circ } и такие, что $$f(y)-f({ y }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { f }_{ j }(y)({ y }_{ j }-{ y }_{ j }^{ \circ  }), } \quad \quad { f }_{ j }({ y }^{ \circ  })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ  }) \quad \quad\quad \quad(2)$$Раз функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Используя это и теорему о непрерывности сложной функции, получим что функции: $${ \psi  }_{ j }(x)={ f }_{ j }({ \varphi  }_{ 1 }(x),{ \varphi  }_{ 2 }(x),…{ \varphi  }_{ m }(x)),\quad \quad j=\overline { 1,m }\quad \quad\quad \quad(3) $$

непрерывны в точке { x }^{ \circ } (т.к функции {\varphi}_{ i }(x) непрерывны, и по теореме указанной выше, их композиция также даст непрерывную функцию) , при этом
$$
{ \psi  }_{ j }({ x }^{ \circ  })={ f }_{ j }({ y }^{ \circ  })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ  })\quad \quad\quad \quad(4)
$$

Подставив в (2) { y }_{ 1 }={ \varphi }_{ 1 }(x),...,{ y }_{ m }={ \varphi }_{ m }(x) и воспользовавшись (3) получим:

$$T(x)-T({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \psi  }_{ j }(x)({ \varphi  }_{ j }(x)- } ({ \varphi  }_{ j }({ x }^{ \circ  }))\quad \quad\quad \quad(5)$$

Но функции { \varphi }_{ j }(x) дифференцируемы в точке { x }^{ \circ } (по условию), поэтому найдутся такие непрерывные в точке { x }^{ \circ } функции { \varphi }_{ ij }(x),  что $${ \varphi  }_{ j }(x)-{ \varphi  }_{ j }({ x }^{ \circ  })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \varphi  }_{ ij }(x) } ({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ  }),\quad \quad { \varphi  }_{ ij }({ x }^{ \circ  })=\frac { \partial { \varphi  }_{ j } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })\quad \quad\quad \quad(6)$$

$${ i=\overline { 1,n }  }\quad { j=\overline { 1,m }  }$$

Подставляя выражения (6) и (5) получаем

$$T(x)-T({ x }^{ \circ  })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { T }_{ i }(x)({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ  }) } \quad \quad { T }_{ i }(x)=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi  }_{ ij } } (x){ \psi  }_{ j }(x)\quad \quad\quad \quad(7)$$

Так как функции { \psi }_{ j }(x) и { \varphi }_{ ij }(x) непрерывны в точке  { x }^{ \circ }, то и { T }_{ i }(x) непрерывны в этой точке (как композиции непрерывных). А это означает, что сложная функция  { T }(x) дифференцируема в  { x }^{ \circ }.

Дифференцируемая функция { T }(x) может быть записан в виде (1) с коэффициентами { A }_{ i }, равными в силу (6) и (4)

$${ A }_{ i }={ T }_{ i }({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi  }_{ ij } } ({ x }^{ \circ  }){ \psi  }_{ j }({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ d{ y }_{ j } } ({ y }^{ \circ  })\frac { \partial { \varphi  }_{ j } }{ d{ x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } }  } ({ x }^{ \circ  })$$

[свернуть]
Спойлер

  •  Формула ${ A }_{ i }=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ })=\sum\limits _{ j=1 }\limits^{ m }{ \frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } }  } ({ y }^{ \circ })\frac { \partial { \varphi }_{ i } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ }),\quad i=\overline { 1,n }$  дает правило нахождения частных производных сложной функции, аналогичное соответствующему правилу для функций одной переменной.

[свернуть]
Спойлер

Пусть дана функция $f(x,y)=\sin x + \tan (x^ 2+y^ 2)$.
Ее можно представить как композицию функций: $z(u,v)=u+v\quad u(x,y)=\sin x \quad v(x,y)=\tan (x^ 2+y^ 2)$
Тогда дифференциал функции $f$ имеет вид:
$$
df=\frac { dz }{ dx } +\frac { dz }{ dy } =\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dx } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dx } +\frac { dz }{ du } \frac { du }{ dy } +\frac { dz }{ dv } \frac { dv }{ dy }
$$
Вычислим частные производные:
$$
\frac { dz }{ du } =1; \quad \frac { du }{ dx } =-\cos x;
$$
$$
\frac { dz }{ dv } =1; \quad \frac { dv }{ dx } =\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } ;
$$
$$
\frac { du }{ dy } = 0; \quad \frac { dv }{ dy } =\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } +y };
$$
Получаем, что:
$$
df=-\cos x +\frac { 2x }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }) } } +\frac { 2y }{ \cos ^{ 2 }{ ({ x }^{ 2 } } + y^{ 2 }) }.
$$

[свернуть]

 

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

Тест, на понимание темы «Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций»

Таблица лучших: Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций: 1 комментарий

Добавить комментарий для Igor Mazurok Отменить ответ

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *