Радиус сходимости степенного ряда.

Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ на комплексной плоскости (или степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ на действительной числовой оси), то есть такое число $r$, что ряд сходится при любых$\mid z\mid$<$r$ (соответственно при $\mid x\mid$<$r$ ) и расходится при $\mid z\mid$>$r$ (соответственно при $\mid x\mid$>$r$ ). На границе же круга сходимости ситуация неопределенная, так как ряд может как сходиться, так и расходиться.  Если же ряд сходится на всей числовой прямой $R$,  то мы можем утверждать, что $R=\infty$.
В точках $x=\pm R$ общего утверждения о сходимости сделать нельзя (то есть бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках).

Существование радиуса сходимости.

Для всякого степенного ряда вида $\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}$ $\exists R$

$\left ( R\geq 0 \right )$, либо $\left ( R=+\infty\right )$:

a) если $R\neq 0$ и $R\neq+\infty$, то ряд сходится в круге
$K=\left \{ z \right.$ : $\left.\mid z\mid <R\mid\right \}$ и расходится вне круга $K$.

б) если $R=0$, то ряд сходится только в одной точке $z=0$.

в) если $R=+\infty$, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство:

Пусть $D$ — множество всех точек сходимости ряда (то есть область сходимости).

$D\neq 0$

Если $D$ — неограниченное, то ряд сходится в любой точке комплексной плоскости.

$\forall\widetilde{z}\in\mathbb{C}\quad\exists z_{0}\in D$: $\mid z_{0}\mid$>$\mid\widetilde{z}\mid$ тогда по теореме Абеля ряд сходится в $\widetilde{z}$
$\left ( R = + \infty \right )$.

Пусть $D$ — ограниченное. Если $D$ одноточечное множество, то ряд сходится при $z_{0}=0$ и расходится  $\forall z\neq 0$. Если  $D$ содержит хотя-бы 1 точку отличную от 0, то $R=\sup\limits_{z\in D}\mid z\mid$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}$ — сходится,

$K=\left \{ z\right.$: $\mid z\mid$<$\left. R\mid\right \}$

$\widetilde{z}\in K\Rightarrow\mid\widetilde{z}\mid$<$R$

По ограниченности $sup\quad\exists z_{1}\in D:\mid\widetilde{z}\mid$<$\mid z_{1}\mid$<$R$.

$\left ( \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_{n}r_{1}^{n}<\infty \right )\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\widetilde{z}^{n}<\infty$ сходится. Пусть теперь ${z}’\in K\left ( \mid{z}’\mid >R \right )\Rightarrow {z}’\notin D$, то есть ряд расходится в точке ${z}'$. На границе круга сходимости ряд может как сходится так и расходится.

Спойлер

a)

Возьмем $K_{0}=\left \{ z \right.$: $\mid z\mid$<$\left. \mid z_{0}\mid\right \}$

Пусть $q=\mid\frac{z}{z_{0}}\mid<1$

Так как $\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}$ — сходится в точке $z_{0}$, то есть

$\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z_{0}^{n}$<$\infty$, то можно утверждать, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_{n}z^{n}=0$, то есть $\left \{ c_{n}z^{n} \right \}$ — ограничена: $\exists M$:$\forall n\in N$:$\mid c_{n}z_{0}^{n}\mid\leq M$

$\mid c_{n}z^{n}\mid=\mid\left ( c_{n}z_{0}^{n} \right )$$\left ( \frac{z^{n}}{z_{0}^{n}} \right )$$\mid$=$\mid c_{n}z_{0}^{n}\mid$$\mid\frac{z}{z_{0}}\mid^{n}\leq M q^{n}\leq M$

Получили, что $\sum\limits_{0}^{\infty}Mq^{n}$ — сходится.

Значит по признаку сравнения ряд $\sum\limits_{0}^{\infty}\mid c_{n}z^{n}\mid$ — сходится абсолютно $\forall z\in K_{0}$.

б) Пусть $\sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n}$ расходится в точке $z_{1}$.

Тогда он расходится $\forall\mid\tilde{z}\mid$>$z_{1}$, так как в противном случае, если бы ряд сходился в точке $\tilde{z}$, то по а) он должен был бы сходится и в точке $z_{1}$.

Теорема доказана.

[свернуть]

Источники

• Тер-Крикоров и Шабунин. Курс…(стр 430-450)
• В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс математического анализа том 2 (стр. 60-70)
• Г.М.Фихтенгольц. Курс…, т.2

Первая теорема Абеля

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест для закрепления материала.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Число $r$ такое, что ряд сходится при любом $\mid z\mid$<$r$ и расходится при любом $\mid z\mid$>$r$ называется
   Правильно
   

   Правильно

   Неправильно
   

   Неправильно
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Что можно сказать про сходимость ряда в точках $x=\pm R$?

   • Ряд сходится
   • Точно утверждать о сходимости нельзя
   • Ряд расходится
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 2

   Соотнести ряд и радиус его сходимости

   Элементы сортировки

   • $\infty$
   • 1
   • $\frac{\sqrt{5}}{2}$

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\left ( x+3 \right)^n}{n!}$

   • $\sum\limits_{n=0}^{\infty}nx^{n}$

   • $1+\frac{2x}{\sqrt{5\cdot 5}}+\frac{4x^{2}}{\sqrt{9\cdot 5^{2}}}+\frac{8x^{3}}{\sqrt{13\cdot 5^{3}}}$

   Правильно
   

   Правильно

   Неправильно
   

   Неправильно

Таблица лучших: Первая теорема Абеля

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных