Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

Определение стационарной точки(для функции многих переменных)

В терминах частных производных

Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль.
$\left.\begin{matrix}\\{f_{x_{1}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\{f_{x_{2}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\\…………………….\\{f_{x_{n}}}’\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)=0\end{matrix}\right\}$

В терминах дифференциалов

Если функция $f\left(x\right)$ дифференцируема в точке $x^{0}$ и $df\left(x^{0}\right)=0$ , то точка $x^{0}$ называется стационарной точкой функции $f\left(x\right)$ .

Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.

Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме

Пример

Показать, что $\left(0,0\right)$ является стационарной точкой функции $f\left(x,y\right)=xy$ , но $\left(0,0\right)$ не есть точка экстремума этой функции.

График функции $z=xy$ .

Так как $df\left(x,y\right)=ydx+xdy$ , то $df\left(0,0\right)=0$ и $\left(0,0\right)$ есть стационарная точка функции $f\left(x,y\right)$ . Но для любого $\delta>0$ точки $\left(\delta,\delta,\right)$ и $\left(\delta,-\delta,\right)$ лежат в круге $S_{2\delta}\left(0,0\right)$ и

$f\left(\delta,\delta\right)=\delta^{2}>f\left(0,0\right)=0$ ,

$f\left(\delta,-\delta\right)=-\delta^{2}<f\left(0,0\right)=0$ .

Поэтому $\left(0,0\right)$ не есть точка экстремума функции $f\left(x,y\right)$ .

Литература